История математики в Армении

Самые древние источники о математических знаниях на территории Армении — это клинописные таблички времён Урартского царства (IX—VII века до н. э.). Они свидетельствуют о том, что в то время использовались десятичная и шестидесятеричная системы счисления[1]. Десятичная система коренным образом отличалась от египетской и была близка к современной системе[2]. Клинописные таблички также свидетельствуют, что с помощью нескольких символов записывались достаточно большие целые числа, а также дробные числа, и с ними производились операции сложения и вычитания[1]. Ниже приведены несколько примеров чисел, взятых из царских надписей Сардури II, где единицы — , десятки — , сотни — , тысячи — [3]:

Примеры урартских клинописных цифр

23 — 8135 — 25000 — 6000 — 2500 — 12300 — 32100 —

Урартийцы, высоко оценивая ассиро-вавилонскую культуру, перенимают у них клинообразные письмена, создают свою письменность и литературу, использованием клинообразных цифр вводят в употребление и делают обиходными крупные числа[4]. Сравнение арифметики в древней Армении с урартской, указывает на их непосредственную связь[4].

О математических знаниях армян, особенно в V—VI веках, можно составить представление, с одной стороны, судя по философским и историческим трудам, где исследуются некоторые проблемы математики и астрономии, а с другой стороны, — по остаткам вещественной культуры (замки, палаты, церкви, мосты и оросительные системы), для строительства которых требовались математические знания и точные расчёты, а также по участию армян в международной торговле. В V и в начале VI веков большое количество специально отобранных учеников из Армении были отправлены для продолжения учёбы в Александрию, Афины и в Рим. Об этом свидетельствовали армянские историки V века[5].

До нынешних времён учёным — историкам науки не удалось найти чисто математические тексты, созданные армянами до V века, когда был создан армянский алфавит Месропом Маштоцем[6]. После создания армянского алфавита открылись армянские школы[7], где преподавали также математику. Армянские буквы использовались в качестве цифр, была создана алфавитная десятичная не позиционная система счисления, приведённая ниже (например: Գ — 3, Խ — 40, Չ — 700, Ք — 9000). Между алфавитными системами армян и греков, наряду со сходством, существовало и некоторое различие. Армяне употребляли 36 букв, а греки — 27. Урартская система использовалась параллельно с алфавитной, до тех пор, пока не была окончательно вытеснена последней. Но следы урартской системы остались в новой и передавались из поколения в поколение[8].

Статуя Анании Ширакаци перед зданием Матенадарана в Ереване

Страница из учебника арифметики Анании Ширакаци, 1283 год

Дошедшие до нас древние математические труды на армянском языке связаны с именем крупнейшего армянского учёного VII века, основоположника древнеармянского естествознания Анании Ширакаци. То, что до Анании Ширакаци (в V—VI веках) существовали армянские математики и математические труды на армянском языке, очевидно из одного его свидетельства. Во введении к таблицам сложения, Анания Ширакаци упомянул, что он переписывает в кратком виде труды своих предков:

Цель моя, о, любители мудрости и желающие учиться у меня: представить творчество наших предков — искусство осмысления, как живой голос доброго учителя. Учитесь на моих таблицах, хотя и изложил я их кратко, представив немного из многого.

Оригинальный текст (арм.)[показатьскрыть]

«Արձանացուցանել ձեզ զջանս նախնեաց զարուեստս համարողութեան: <…> Ուսուցանիջիք իմոցս գծագրեացս թէպէտ և կարճառօտ կարգեցի զսակաւս ի բազմաց…»

— Анания Ширакаци[9][10]

Анания Ширакаци внёс большой вклад в математику. Им был составлен учебник арифметики, состоящий из нескольких частей: таблицы с операциями сложения и вычитания, таблицы с операциями умножения и деления, таблицы чисел вида ${\displaystyle {\frac {6000}{n}}}$, где ${\displaystyle n}$ пробегает все значения букв армянского алфавита, а частные округляются до целого числа (Шеститысячник, арм. «Վեցհազարյակ»). В Армении также имелись аналогичные таблицы для чисел вида ${\displaystyle {\frac {5000}{n}}{,}~{\frac {4000}{n}}}$ и некоторых других[11]. Задачник, составленный Ширакаци состоит из 24 задач с ответами и из задач с занимательным содержанием (арм. «Խրախճանականներ»). Почти во всех задачах из задачника, отражена жизнь армянского народа: или в условиях говорится о событиях армянской истории, или применяются армянские меры[11]. Задачи — линейные, с одним неизвестным, в одной (№ 22) требуется разделить величину в арифметической прогрессии. Встречающиеся в задачах дроби записаны в виде сумм долей единицы[11].

В начале VII века в Византии, государственной религией которой было христианство, начинается серьёзная борьба против языческой науки и её представителей. В связи с этими событиями, значение естественных наук и математики в Армении сильно падает. Об этом пишет Анания Ширакаци в своей автобиографии[12][13].

Историками науки показано, что начиная с I века до н. э., в Армении применяли следующие меры длины[14]: аспарез (по воздуху), равный ${\displaystyle 107{\frac {1}{7}}}$ шагам, аспарез (по земле) — ${\displaystyle 142{\frac {6}{7}}}$ и ${\displaystyle 150}$ шагам, градус, заключающий в себе ${\displaystyle 500}$ аспарезов. Миля составляла ${\displaystyle 7}$ аспарезов и в одном случае равнялась ${\displaystyle 1000}$ шагам, в другом — ${\displaystyle 1050}$, а шаг — ${\displaystyle 6}$ ступням, ступня — ${\displaystyle 16}$ пальцам. В VII веке в Армении длину между двумя городами мерили милями, а расстояние между планетой и Землёй — аспарезами[15]. Вся информация о мерах длины была написана в труде Анании Ширакаци «Ашхарацуйц» (арм. Աշխարհացույց)[16].

Григор Магистрос

Продолжателем традиций Ширакаци является известный византийский математик и механик армянского происхождения Лев Математик (ок. 790 — ок. 869). В Константинополе он занимался преподаванием математики, а в 863 году создал и стал первым ректором Константинопольского университета. В математике Лев систематически применял буквы как арифметические символы, предвосхищая становление алгебры; он значительно упростил сложную символику Диофанта и сделал дальнейший шаг в развитии алгебраического направления в математике[17]. Большой вклад в области математического образования конца XI начала XII века имеет Ованес Имастасер (Любомудрый), известный также как Иоанн Саркаваг (1045/55—1129). Из его математических трудов видно, что в армянских средневековых школах помимо практической, изучали также теоретическую арифметику — теорию чисел. Один из его трудов включает в себя армянскую версию таблиц умножения Пифагора. Его сочинение «Многоугольные числа» опиралось на «Арифметику» Никомаха[11]. Ованес Имастасер является автором труда «Полигональные числа», который использовался в качестве учебника в XI—XII веках[18].

Математическое образование в Армении достигло высокого уровня в XI—XIV веках в армянских средневековых университетах: в Гладзорском университете (основан в 1282 году), в Татевском университете (основан в 1373 году), также в школах Ани, Ахпата и в других учебных заведениях, в том числе и за пределами Армении[1].

Также, продолжателем традиций Ширакаци является византийский математик армянского происхождения XIV века Николай Рабдас Артавазд[19]. Сохранились два его письма на греческом языке. В одном из них говорится о том, как можно представить пальцами руки числа от 1 до 9999, а в другом — об извлечении квадратного корня из чисел[20].

В армянских школах использовались труды греческих классиков. Армянские учёные занимались переводами этих трудов. «Начала» Евклида были переведены на армянский язык несколькими авторами. Сохранившиеся отдельные части перевода относятся и к Анании Ширакаци, и к Григорию Магистросу (перевёл непосредственно с греческого текста в 1051 году)[21][11], и к другим. Согласно Г. Б. Петросяну, старейшим, после арабского, переводом «Начал» Евклида, является армянский перевод Григора Магистроса. Дошедшие до нас фрагменты «Начал» Евклида в армянском переводе содержат перечисление постулатов и аксиом, легших в основу «Начал»; они проливают новый свет в частности на постулат о параллельных[22][23]. В 1959 году был обнаружен ещё один перевод «Начал», сделанный Григором Кесарцем в XVII веке[24].

В 1921 году в Ереване был основан армянский университет[40]. Преподавание высшей математики начали со дня основания университета на техническом факультете и факультете естествознания, а математиков готовили начиная с 1924 года на физико-математическом отделе педагогического факультета[40]. Но в период 1921—1933 годов, в университете готовили только учителей математики для общеобразовательных и средних профессиональных школ[41]. Уже после 1933 года физико-математический факультет Ереванского государственного университета стал действительно университетским факультетом с 5-летним учебным планом, там стали готовить учёных-математиков[41]. В 1959 году физико-математический факультет был разделён на механико-математический и физический факультеты. С 1963 года на механико-математическом факультете начали готовить учёных в области математической кибернетики, а в 1972 году был создан факультет прикладной математики и информатики[42].

Самостоятельная научно-творческая деятельность в области математики в Советской Армении началась в 1937—1941 годах, когда несколько выпускников физико-математического факультета Ереванского государственного университета продолжили учёбу в Москве и Ленинграде, где защитив диссертации, вернулись в Ереван[43].

Здание Президиума Национальной академии наук Республики Армения	Здание Ереванского государственного университета	Здание Национального политехнического университета Армении

В 1943 году была основана Академия наук Армянской ССР (на основе Армянского филиала Академии наук СССР, созданного в 1935 году, ныне — Национальная академия наук Республики Армения)[44]. В 1944 году было создано отделение механики и математики АН Армянской ССР. Позднее, отделение было преобразовано в Институт математики и механики АН Армянской ССР. Институт математики был выделен в отдельную организацию в 1971 году. В 1956 году был создан Ереванский научно-исследовательский институт математических машин (ныне — Ереванский научно-исследовательский институт автоматизированных систем управления). В 1957 году был создан Вычислительный центр АН Армянской ССР (ныне — Институт информатики и проблем автоматизации НАН РА), где начали исследовать математические проблемы кибернетики и вычислительной техники, математическую обеспеченность систем автоматизации, автоматизацию научных исследований. Крупным центром исследований в области прикладной математики, информатики и компьютерных систем также является Национальный политехнический университет Армении. В 1961 году в НПУА был создан факультет компьютерных систем и информатики. Также, в университете есть факультеты прикладной математики и физики, кибернетики[45].

Почтовая марка Армении, посвящённая Арташесу Липаритовичу Шагиняну

У истоков создания армянской математической школы стоял академик АН Армянской ССР Арташес Шагинян (1906—1978)[46]. Арташес Шагинян был первым советским армянским математиком[47]. После окончания аспирантуры Ленинградского университета в 1937 году он вернулся в Ереван, успешно занимался одновременно научной и педагогической работой[48]. Последователями армянской математической школы стали: М. М. Джрбашян, С. Н. Мергелян, Р. А. Александрян, Н. Х. Арутюнян, Г. Б. Петросян, В. В. Сагателян, Н. Г. Гаспарян[49], Г. В. Бадалян[50], Н. Е. Товмасян, А. А. Талалян, В. А. Мартиросян, И. Г. Хачатрян, Г. А. Амбарцумян; современные учёные В. С. Захарян, А. Б. Нарсисян, Р. В. Амбарцумян, Н. У. Аракелян, Г. Г. Геворкян, А. А. Саакян и многие другие[51].

Мхитар Мкртичевич Джрбашян

Исследования вопросов о полноте полиномов в комплексной области в Армении были начаты в конце 1930-х годов Арташесем Шагиняном[52] и активным образом продолжались в 1940-х годах им, академиками АН Армянской ССР Мхитаром Джрбашяном (1918—1994) и Сергеем Мергеляном (1928—2008)[53][54]. Была исследована возможность приближения функций полиномами, а также вопросы о наилучшем приближении, относительно интегральной и равномерно-весовой метрик[53]. В случае интегральных метрик, были получены точные признаки для некоторых широких классов областей. Было также получено полное решение равномерно-весового полиномного приближения для действительной оси[53]. Так, со второй половины 1940-х годов, началась организация армянской математической школы теории функций[53].

Сергеем Мергеляном было получено решение для равномерного приближения полиномами в комплексной области[53]. Этот метод был успешно применён также в вопросах о возможности равномерного приближения рациональными функциями, о наилучшем полиномном приближении[53]. Эти работы Сергея Мергеляна были отмечены Сталинской премией.

В 1950-х годах Мхитаром Джрбашяном были начаты исследования среднего, равномерного и касательного приближений целыми функциями, которые получили окончательное решение в 1960—1970-х годах[53]. Полностью были решены задачи о равномерном приближении аналитическими (частично целыми) функциями, и описание скорости касательного приближения[53].

Академиком АН Армянской ССР Норайром Аракеляном были получены решения нескольких общих задач о наилучших приближениях целыми функциями. Эти работы Норайра Аракеляна были отмечены премией Ленинского комсомола[53]. Результаты работ были успешно применены в теории распределения значений[53]. Начиная с 1970-х годов, Мхитаром Джрбашяном и другими были осуществлены исследования полноты и базисности некоторых систем аналитических функций[53]. Норайром Аракеляном были получены ценные результаты о взаимосвязи вопросов о классическом аналитическом продолжении и теории комплексного приближения[53].

Серьёзные исследования в области теории функций в Армении начались в 1945 году, когда Мхитаром Джрбашяном была построена теория факторизации неограниченных мероморфных функций в области[53]. В 1950—1960 годах им исследовались вопросы гармонического анализа в комплексной области и теории интегральных преобразований[53]. Джрбашян построил идеальную теорию преобразований вида Фурье — Планшереля для произвольной системы лучей, выходящих из одной точки; получил новые фундаментальные результаты в представлении общих и аналитических функций; расширил и разработал известную классическую теорию Пэли — Винера; вместе с учениками разработал теорию дискретного гармонического анализа в комплексной области[53]. В 1963 году Джрбашяном были определены новые классы мероморфных функций, связанных с функциями на ${\displaystyle (-1,+\infty )}$, которые в состоянии включить произвольные мероморфные функции в круге, а также была разработана теория параметрического представления данных функций[53].

Исследования в этой области произвёл и академик НАН РА Ваник Захарян. Мхитаром Джрбашяном и Ваником Захаряном были исследованы граничные свойства подклассов мероморфных функций ограниченного вида[53].

Вопросами дефектных значений общих и мероморфных функций занимался Норайр Аракелян[53]. Впервые использовав методы теории приближений, Норайр Аракелян опровергнул известную гипотезу Рольфа Неванлинны о дефектных значениях целых функций конечного порядка[53].

В геометрической теории мероморфных функций и в теории распределения значений новые результаты получил Григорий Барсегян, разработав теорию Неванлинны — Альфонса[53].

В исследованиях теории аналитических функций важное место занимают вопросы о единственности, в том числе о квазианалитичности[53]. Разрабатывая известные результаты Лоренца Ланделёфа, Арташес Шагинян получил «внутренние» интегральные признаки для аналитических функций в круге, которые в дальнейшем распространил на мероморфные функции в круге[53]. Некоторые из этих результатов Ваник Захарян распространил на классы Джрбашяна[53].

Мхитар Джрбашян, основываясь на своей теории гормонального анализа в комплексной области, обобщил классическую идею о квазианалитичности Данжуа — Карлемана, построив теорию ${\displaystyle \alpha }$-квазианалитичных классов[53].

Важные исследования в области квазианалитических функций имеет Гайк Бадалян[55]. Бадалян ввёл некоторое обобщение понятия производной и, опираясь на него, построил специальные ряды, более общие, чем тейлоровские[55]. Эти ряды оказались подходящим аналитическим средством для представления функций некоторых квазианалитических классов[55].

Александр Андраникович Талалян

Исследования в области функций действительного переменного (аналитических функций) в Армении начались в 1950-х годах[53]. В начальном периоде исследования, в основном, относились к вопросу о представлении измеримых функций ортогональными (в частности — тригонометрическими) рядами и к вопросу о единственности этих рядов[53]. В этой области осуществил исследования академик НАН РА Александр Талалян (1928—2016)[53]. Талалян доказал общие теоремы, согласно которым, рядами полных ортогональных систем могут быть представлены все измеримые функции[53]. С 1965 года под руководством Александра Талаляна ведутся исследования общих ортогональных систем и базисов[56]. Получены важные результаты о существовании универсальных (в различных смыслах) ортогональных рядов[56]. Решена задача восстановления рядов Уолша, сходных с интегрируемыми функциями, и доказаны такие теоремы единственности типов Кантора и Валле Пуссена для систем Гаара и Уолша, сходные с которыми, для триганометрических систем не существовали или не были известны до того[56].

Некоторые исследования в области теории функций комплексного переменного произвёл Гайк Бадалян[57]. Задача Сеге о покрытии отрезков была решена Гайком Бадаляном для ограниченных функций из класса ${\displaystyle S}$[57].

Рафаэль Арамович Александрян

Исследования в области функционального анализа начались в 1950-х годах в Ереванском университете и в Институте математики АН Армянской ССР, и были посвящены вопросу о сходстве граничных задач нового типа в гильбертовом пространстве с задачей Коши[56]. Эти исследования осуществил академик АН Армянской ССР Рафаэль Александрян (1923—1988)[56]. За цикл работ «Математические исследования по качественной теории вращающейся жидкости» он был удостоен Государственной премии СССР. В дальнейшем, несколькими учёными была расширена тематика исследований в областях функционального анализа и интегрального и дифференциального исчислений[56]. Основными направлениями исследований были: теория операторов, операторные уравнения, спектральная теория самосопряжённых операторов[56]. Была разработана идея ядра спектра, в особенности термин резольвенты произвольного самосопряжённого оператора, а также универсальный способ построения полной системы собственных функционалов и теоремы о спектральном анализе по данным функционалам[56]. Были обнаружены асимптотические периодические условия решений нестационарных операторных уравнений некоторых классов, содержащих уравнение Шрёдингера[56].

Впервые на обратные задачи спектрального анализа дифференциальных операторов и на их важность для приложений обратил внимание Виктор Амбарцумян (ему же принадлежит следующий первый результат в этих задачах: если для непрерывной функции ${\displaystyle \varphi (x)}$ краевая задача ${\displaystyle y^{''}+\pi (x)y+\lambda y=0}$, где ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant \pi }$ и ${\displaystyle y^{'}(0)=y^{'}(\pi )=0}$, имеет спектр ${\displaystyle \lambda _{n}=n^{2}~(n=1{,}~2{,}~3{,}\cdots )}$, то ${\displaystyle \varphi (x)=0}$)[58]. Академик АН СССР Виктор Амазаспович Амбарцумян (1908—1996) является одним из величайших астрофизиков XX века. Немаловажны также его труды по смежным с астрофизикой наукам: по математике и по физике.

Некоторые из результатов о спектре дифференциального оператора ${\displaystyle L}$ в пространстве ${\displaystyle L(0,\infty )}$ перенесены академиком АН Армянской ССР, радиофизиком Радиком Мартиросяном на дифференциальные операторы в частных производных[59].

Исследования в области интегрального и дифференциального исчислений начались в Армении в 1930-х годах[56]. В этот период, армянские математики получили некоторые результаты о параболических уравнениях[56]. Обобщённые исследования велись с 1948 года Рафаэлем Александряном[56]. Основными темами исследований были эллиптические, гипоэллиптические, гиперболические, слабые гиперболические, интегральные (в том числе сингулярные интегральные) уравнения[56]. Исследовались граничные задачи нового типа для некоторых неклассических систем дифференциальных уравнений, для уравнения колебания струны в области Дирихле; также было разработано понятие обобщённой собственной функции[56]. Ишханом Саргсяном исследован спектральный анализ задачи Штурма — Лиувилля, а полученные результаты распространены на однородные системы Дирака[56]. Также исследовались обратная задача Штурма — Лиувилля и обратная задача теории рассеяния при наличии уравнений высокого порядка[56].

В областях теории вероятностей и математической статистики исследования в Армении начались в послевоенное время[56]. Был получен ряд результатов по теории случайных процессов, а в дальнейшем — о критерии ${\displaystyle \chi ^{2}}$[56].

В 1970—1980 годах, академиком АН Армянской ССР Рубеном Амбарцумяном было создано новое научное направление — комбинаторная интегральная геометрия[56]. Комбинаторная интегральная геометрия успешно применялась в исследовании решений задач стохастической геометрии, в частности, решены задачи стереологии геометрических случайных процессов[56]. Также, исследовались другие вопросы стохастической геометрии[56].

Исследования в области алгебры начались в 1950-х годах. Исследовались вопросы о представлении квадратных матриц, об анализе некомпактных простых групп Ли, об исследовании тождеств второй степени в универсальных алгебрах и в алгебрах второй степени и другие[60]. Систематическое применение бесконечных систем уравнений к решению конкретных задач математической физики, и в связи с этим, — развитие методов исследования и решения возникающих здесь систем, осуществлены в работах армянских математиков: Б. Л. Абраамяна, Е. А. Александрян, Н. Х. Арутюняна, Н. О. Гулканян, М. М. Джрбащяна, Б. А. Костандяна, Р. С. Минасяна, О. М. Сапонджяна, М. С. Саркисяна, К. С. Чобаняна[61].

В начале нового тысячилетия в Армении основные математические исследования ведутся в Институте математики НАН РА и в Ереванском государственном университете. В первые годы работы, Институт математики НАН РА, занимался в основном теорией функций. Со временем, сфера исследований расширилась, и в настоящее время включает комплексный анализ, действительный анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, теорию вероятностей, математическую статистику, математическую физику[62].

В Армении издаются следующие математические журналы: «Известия НАН Армении: Математика» (Национальная академия наук Республики Армения, главный редактор — Артур Саакян)[63], Армянский журнал математики (Национальная академия наук Республики Армения, главный редактор — Анри Нерсисян)[64], Математика в высшей школе (Национальный политехнический университет Армении, главный редактор — Ваник Захарян), «Вестник ЕГУ. Серия физики и математики» (Ереванский государственный университет, главный редактор — Варужан Атабекян)[65], также действует Армянский математический союз, который объединяет математиков страны[66].