Серединный перпендикуляр

Серединный перпендикуляр (также срединный перпендикуляр и устаревший термин медиатриса) — прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.

Построение середины отрезка AB является одновременно построением серединного перпендикулярa

Свойства

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника (или другого многоугольника, для которого существует описанная окружность) пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. У остроугольного треугольника эта точка лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
- Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
В равнобедренном треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины угла с равными сторонами, совпадают и являются серединным перпендикуляром, проведённым к основанию треугольника, а два других серединных перпендикуляра равны между собой.
Отрезки серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, заключённые внутри него, можно найти по следующим формулам[1]:

p_{a}={\frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},\;\;p_{b}={\frac {2bS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},\;\;p_{c}={\frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},

где нижний индекс обозначает сторону, к которой проведён перпендикуляр,

S

— площадь треугольника, а также предполагается, что стороны связаны неравенствами

a\geqslant b\geqslant c.

Если стороны треугольника удовлетворяют неравенствам $a\geq b\geq c$ , тогда справедливы неравенства[1]:

p_{a}\geq p_{b}

и

p_{c}\geq p_{b}.

Иными словами, наименьшим является серединный перпендикуляр, проведенный к стороне с промежуточной длиной.

Вариации и обобщения

Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная.

Примечания

Mitchell, Douglas W. Perpendicular Bisectors of Triangle Sides // Forum Geometricorum. — 2013. — Vol. 13. — P. 53-59, Theorems 2, 4.

Литература

Геометрия по Киселёву.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Mitchell-1] Mitchell, Douglas W. Perpendicular Bisectors of Triangle Sides // Forum Geometricorum. — 2013. — Vol. 13. — P. 53-59, Theorems 2, 4.