Серединный перпендикуляр

Серединный перпендикуляр (также срединный перпендикуляр и устаревший термин медиатриса) — прямая, перпендикулярная данному отрезку и проходящая через его середину.

Построение середины отрезка AB является одновременно построением серединного перпендикулярa

Свойства

  • Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника (или другого многоугольника, для которого существует описанная окружность) пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. У остроугольного треугольника эта точка лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
  • Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
    • Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
  • В равнобедренном треугольнике высота, биссектриса и медиана, проведенные из вершины угла с равными сторонами, совпадают и являются серединным перпендикуляром, проведённым к основанию треугольника, а два других серединных перпендикуляра равны между собой.
  • Отрезки серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, заключённые внутри него, можно найти по следующим формулам[1]:
где нижний индекс обозначает сторону, к которой проведён перпендикуляр,  — площадь треугольника, а также предполагается, что стороны связаны неравенствами
  • Если стороны треугольника удовлетворяют неравенствам , тогда справедливы неравенства[1]:
и Иными словами, наименьшим является серединный перпендикуляр, проведенный к стороне с промежуточной длиной.

Вариации и обобщения

  • Окружность Аполлония — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная.

Примечания

  1. Mitchell, Douglas W. Perpendicular Bisectors of Triangle Sides // Forum Geometricorum. — 2013. — Vol. 13. — P. 53-59, Theorems 2, 4.

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.