Центр Шпикера

Центр Шпикера
Центр Шпикера
	; Центр Шпикера есть инцентр серединного треугольника
Барицентрические координаты
Трилинейные координаты
Код ЭЦТ	X(10)
Связанные точки
Антидополнительная	центр вписанной окружности

Центр Шпикера — замечательная точка треугольника, определяемая как центр масс периметра треугольника; то есть центр тяжести однородной проволоки проходящей по периметру треугольника[1][2].

Точка названа в честь немецкого геометра XIX века Теодора Шпикера[3]. В Энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга указана как X(10)[4].

Свойства

Центр Шпикера (S) треугольника является центром пересечения кливеров, обозначены синими линиями.

Центр Шпикера

S

— радикальный центр трёх вневписанных окружностей

\triangle ABC

. Зелёным цветом обозначены радикальные оси соответствующих пар окружностей; они перпендикулярны линиям центров.

Центр Шпикера является инцентром серединного треугольника[1]. То есть центр Шпикера $\triangle ABC$ является центром окружности, вписанной в серединный треугольник $\triangle ABC$ (в его дополнительный треугольник)[5]. Эта окружность известна как окружность Шпикера.

Центр Шпикера является центром кливеров треугольника $\triangle ABC$ [1]. То есть все три кливера треугольника пересекаются в одной точке — в центре Шпикера $S$ . (Кливер треугольника — это отрезок, одна вершина которого находится в середине одной из сторон треугольника, вторая вершина находится на одной из двух оставшихся сторон, при этом кливер разбивает периметр пополам.)

Центр Шпикера, инцентр ( $I$ ), центроид ( $G$ ) и точка Нагеля ( $M$ ) треугольника лежат на одной прямой — на второй прямой Эйлера (прямой Эйлера — Нагеля). Более того[6],

\left\{{\begin{matrix}IS=SM;\\IG=2GS;\\MG=2IG.\end{matrix}}\right.

Центр Шпикера лежит на гиперболе Киперта треугольника.

Центр Шпикера $\triangle ABC$ $\text{[math]}$ является точкой пересечений прямых $AX$ $\text{[math]}$ , $BY$ $\text{[math]}$ и $CZ$ $\text{[math]}$ , где $\triangle XBC$ $\text{[math]}$ , $\triangle YCA$ и $\triangle ZAB$ $\text{[math]}$ — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника $\triangle ABC$ снаружи, имеющие один и тот же угол у основания $\mathrm {arctg} \,\left(\mathrm {tg} \,{\frac {A}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {B}{2}}\;\mathrm {tg} \,{\frac {C}{2}}\right)$ $\text{[math]}$ [7].
- Это свойство выполняется не только для центра Шпикера. Например, первая точка Наполеона $N_{1}$ , как и центр Шпикера, является точкой пересечений прямых $AX$ , $BY$ и $CZ$ , где $\triangle XBC$ , $\triangle YCA$ и $\triangle ZAB$ — подобные, равнобедренные и одинаково расположенные, построенные на сторонах треугольника $\triangle ABC$ снаружи, имеющие один и тот же угол у основания $30^{\circ }$ .

Центр Шпикера является радикальным центром трёх вневписанных окружностей[8].
трилинейные координаты точки $S$ [4]: $(bc(b+c),\;ca(c+a),\;ab(a+b))$ .

Барицентрические координаты центра Шпикера[4]:
$(b+c,c+a,a+b)$ .

Примечания

Honsberger, 1995, с. 3–4.
Kimberling, Clark Spieker center (неопр.). Дата обращения: 5 мая 2012.
Spieker, 1888.
Kimberling, Clark Encyclopedia of Triangle Centers (неопр.). Дата обращения: 5 мая 2012. Архивировано 24 ноября 2015 года.
Серединный треугольник данного $\triangle ABC$ называют дополнительным треугольником треугольника ABC
A. Bogomolny Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (неопр.). Дата обращения: 5 мая 2012.
Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Odenhal, 2010, с. 35–40.

Литература

Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.
Theodor Spieker. Lehrbuch der ebenen Geometrie. — Potsdam, Germany, 1888.
Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. — Mathematical Association of America, 1995.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_ea1df66f3efbb4a2-1] Honsberger, 1995, с. 3–4.

[2] Kimberling, Clark Spieker center (неопр.). Дата обращения: 5 мая 2012.

[_29fb58b994cccffd-3] Spieker, 1888.

[Clark-4] Kimberling, Clark Encyclopedia of Triangle Centers (неопр.). Дата обращения: 5 мая 2012. Архивировано 24 ноября 2015 года.

[5] Серединный треугольник данного $\triangle ABC$ называют дополнительным треугольником треугольника ABC

[6] A. Bogomolny Nagel Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (неопр.). Дата обращения: 5 мая 2012.

[7] Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[_5797a10a7077729c-8] Odenhal, 2010, с. 35–40.

Треугольник
Виды треугольников	Прямоугольный Равнобедренный Равносторонний Равнобедренный прямоугольный
Замечательные линии в треугольнике	Медиана Высота Биссектриса Серединный перпендикуляр Средняя линия Описанная и вписанная окружности Прямая Симсона Прямая Эйлера Симедиана Чевиана
Замечательные точки треугольника	Ортоцентр Центроид Инцентр Точка Брокара Точка Вектена Точка Жергонна Точка Лемуана Точка Микеля Точка Нагеля Точки Наполеона Точки Торричелли Центр окружности девяти точек Центр Шпикера Энциклопедия центров треугольника
Основные теоремы	Неравенство треугольника Признаки подобия треугольников Решение треугольников Теорема о внешнем угле треугольника Теорема о сумме углов треугольника Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема синусов Теорема о проекциях Формула Герона
Дополнительные теоремы	Теорема Ван-Обеля Теорема Менелая Теорема Ройшле (Теркема) Теорема Стюарта Теорема тангенсов Теорема котангенсов Теорема Чевы Формулы Мольвейде
Обобщения	Сферический треугольник Гиперболический треугольник Симплекс