Точки Торричелли
Точки Торричелли — две точки, из которых все стороны треугольника видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Эти точки в треугольнике — «парные». Иногда эти точки называют точками Ферма или точками Ферма-Торричелли.
- Две Точки Торричелли — это точки пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника:
- c соответствующими свободными вершинами равносторонних треугольников, построенных на противолежащих сторонах треугольника (наружу) — первая точка Торричелли
- с соответствующими свободными вершинами правильных треугольников, построенных на противолежащих сторонах внутрь треугольника — вторая точка Торричелли.
Свойства
- Первая точка Торричелли — точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120° (по определению).
- Первая точка Торричелли имеет наименьшую сумму расстояний до вершин треугольника. Она существует только в треугольниках с углами, меньшими 120°; при этом она единственна и, значит, является частным случаем точки Ферма, существующей в любом треугольнике.
- Две точки Торричелли и точка Лемуана лежат на одной прямой.
- Точки Торричелли изогонально сопряжены точкам Аполлония.
- Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в точке пересечения медиан (в центроиде треугольника).
- Теорема Лестера[1]. В любом разностороннем треугольнике две точки Торричелли, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера).
Гипербола Киперта
Гипербола Киперта — описанная гипербола, проходящая через центроид и ортоцентр. Если на сторонах треугольника построить подобные равнобедренные треугольники (наружу или внутрь), а затем соединить их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника, то три таких прямые пересекутся в одной точке, лежащих на гиперболе Киперта. В частности, на этой гиперболе лежат точки Торричелли и точки Наполеона (точки пересечения чевиан, соединяющие вершины с центрами построенных на противоположных сторонах правильных треугольников)[2].
Замечание
Кстати, на первом рисунке справа центры трёх равносторонних треугольников сами являются вершинами нового равностороннего треугольника (Теорема Наполеона). Кроме того, .
Литература
- Точка Ферма
- Точка Торричелли
- Практический пример построения точки Ферма (англ.)
- Замечательные точки треугольника
- Задача Ферма-Торричелли и её развитие// http://pmpu.ru/vf4/algebra2/optimiz/distance/torri
- * Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
- Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. — М.: МЦНМО. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).
См. также
Примечания
- Yiu, 2010, с. 175–209.
- Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 125—126.
Литература
- Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry, and Their Generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.