Вписанные и описанные фигуры для треугольника

• Описанная окружность (см. рис. слева) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, если треугольник не вырожден особым образом, то есть две из трех его вершин не совпадают.

Антикомплементарная окружность (красная, радиус 2r) треугольника ΔABC касается трёх окружностей Джонсона, и центры окружностей лежат на отрезках (оранжевые), соединяющих общую точку пересечения H и точки касания. Точки касания образуют антикомплементарный треугольник, ΔP_AP_BP_C (зелёный).

• Окружность Джонсона — любая из трех окружностей (см. рис. справа), проходящая через две вершины треугольника и через его ортоцентр. Радиусы всех трех окружностей Джонсона равны. Окружности Джонсона являются описанными окружностями треугольников Гамильтона, имеющих в качестве двух вершин две вершины данного остроугольного треугольника, а в качестве третьей вершины имеющих его ортоцентр.

• Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром.
  • Отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергонна. Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля (см. ниже).
• Вневписанная окружность(см. рис. справа) — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон. Таких окружностей в треугольнике три. Их радикальный центр — центр вписанной окружности срединного треугольника, называемый центром Шпикера или точкой Шпикера.
  • Отрезки, соединяющие вершины с точками касания вневписанных окружностей с вершинами, пересекаются в одной точке, называемой точкой Нагеля.

Окружности Мальфатти

• Три окружности Мальфатти треугольника (см. рис. справа). Каждая из них касается двух сторон треугольника и двух других окружностей Мальфатти.
  • Если провести три прямые, соединяющие центр каждой окружности Мальфатти с точкой касания между собой двух других, то они пересекутся в одной точке — в точке Аджима-Мальфатти (Ajima-Malfatti)[1].

Полувписанные окружности

• Три полувписанные окружности или окружности Веррьера (см. рис. слева). Каждая из них касается двух сторон треугольника и описанной окружности внутренним образом.
  • Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии G , которая переводит описанную окружность во вписанную (См. серый рис. снизу).

Полувписанная окружность и центр гомотетии G для вписанной и описанной окружностей с радиусами соответственно r и R. Лемма Веррьера: Центр вписанной окружности лежит на отрезке, соединяющем точки касания сторон треугольника и окружности Веррьера (полувписанной окружности)

• Лемма Веррьера[2]. Точки касания окружностей Веррьера (полувписанных окружностей) со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр) (См. серый рис. снизу).

Следующие формулы включают радиусы описанной R и вписанной r окружностей:

${\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}={\frac {abc}{4{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}}$,

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}$

где ${\displaystyle p}$ — полупериметр треугольника, h_a и т. д. высоты, проведенные к соответствующим сторонам;[3]^:p.70

${\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}$[4]

и

${\displaystyle 2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}}$.

Произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты к третьей стороне, умноженной на диаметр описанной окружности.[3]^:p.64:

${\displaystyle ab=h_{c}(2R)}$.

• Если медиана m, высота h и внутренняя биссектриса t выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R, тогда [3]^:p.122,#96

${\displaystyle 4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).}$

• Три окружности Мальфатти попарно касаются друг друга внутри треугольника. (см. выше)
• Окружность девяти точек или окружность Эйлера касается вписанной окружности внутри треугольника в точке Фейербаха.

• Три окружности Веррьера касаются описанной окружности вне треугольника.
• Окружность девяти точек или окружность Эйлера касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внешним образом (Теорема Фейербаха, см. рисунок).

Иллюстрация к теореме Фейербаха. Точкой Фейербаха F считается наиболее близкая к вершине A отмеченная жирно точка на окружности

• Окружность Аполлония касается трех вневписанных окружностей вне треугольника внутренним образом (см. рисунок)

Иллюстрация к окружности Аполлония

• Три окружности Джонсона (см. выше) касаются внешним образом антикомплементарной окружности (красная на рисунке справа выше, радиус 2r) треугольника ΔABC. Центры окружностей Джонсона лежат на отрезках (оранжевые), соединяющих общую точку пересечения высот H и точки касания этих трех окружностей с антикомплементарной окружностью.. Эти точки касания образуют антидополнительный или (что то же самое) антикомплементарный треугольник ${\displaystyle \triangle P_{A}P_{B}P_{C}}$ (зелёный на рисунке выше).

Окружность Ламуна

• Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.

Окружность Конвея

• Если от каждой вершины отложить наружу треугольника на прямых, содержащих стороны, отрезки, равные по длине противоположным сторонам, то получившиеся шесть точек лежат на одной окружности — окружности Конвея.

• Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника и через три основания его высот.
• Окружность Тейлора — это окружность, которая проходит через шесть точек в виде шести проекций трёх оснований высот треугольника, пересекающих каждую сторону, на две оставшиеся стороны.

Описанный эллипс Штейнера и чевианы, проходящие через его фокусы

• В треугольник можно вписать бесконечно много эллипсов. При этом фокусы каждого из вписанных эллипсов изогонально сопряжены.
• В треугольник можно вписать единственный эллипс, который касается сторон в их серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера (его перспектором будет центроид треугольника)[6].
• «Определение перспектора коники» (включая конику-эллипс) см. выше.

Вписанный и описанный эллипсы Штейнера для треугольника. Показаны красным цветом

• Около треугольника можно описать бесконечно много эллипсов.
• Oколо треугольника можно описать единственный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины и параллельных сторонам. Такой эллипс называется описанным эллипсом Штейнера.
• Фокусы описанного эллипса Штейнера называют точками Скутина.
• Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина)

• Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести произвольный разносторонний треугольник в правильный треугольник, то его вписанный и описанный эллипсы Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности[7].

Эллипс Брокара и его перспектор — точка Лемуана

• Эллипс с фокусами в точках Брокара называется эллипсом Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана[8].

Эллипс Мандарта (красный) вписан в треугольник (черный) в точках касания сторон с вневписанными окружностями(серые). Линии, проходящие через точку Нагеля (N)(зеленые); линии, проходящие через центр эллипса (mittenpunkt) (голубые)(M).

• Эллипс Мандарта (или Мандара) треугольника ABC — вписанный в треугольник эллипс, касающийся его сторон в точках касания их с вневписанными окружностями (в вершинах треугольника Нагеля)(см. рис. справа).
• Описанная вокруг треугольника Нагеля T_AT_BT_C окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта).

Описанный эллипс Джонсона

• Шесть точек — вершины опорного треугольника и вершины его треугольника Джонсона — лежат на эллипсе Джонсона (рис. слева), имеющем центр в центре девяти точек и точка X(216) опорного треугольника является его точкой перспективы. Описанный эллипс и описанная окружность имеют четыре общие точки — три вершины опорного треугольника и точку X(110).

Если произвольный эллипс, вписан в треугольник ABC и имеет фокусы P и Q, тогда для него справедливо соотношение[9]

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

Парабола Киперта

Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Гипербола Киперта

• Гипербола Киперта — описанная гипербола, проходящая через центроид и ортоцентр. Если на сторонах треугольника построить подобные равнобедренные треугольники (наружу или внутрь), а затем соединить их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника, то три таких прямые пересекутся в одной точке, лежащих на гиперболе Киперта. В частности, на этой гиперболе лежат точки Торричелли и точки Наполеона (точки пересечения чевиан, соединяющие вершины с центрами построенных на противоположных сторонах правильных треугольников)[13].

• Гипербола Енжабека — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и точку Лемуана. На ней лежит центр описанной окружности.

• Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха.
• В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис.[14]

• Треугольник с вершинами в основаниях трех чевиан, проведённых через данную точку, называется чевианным треугольником этой точки.
• Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
• Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником. Теорема: окружностно-чевианный треугольник подобен подерному[25].
• Треугольник оснований медиан A′B′C′ данного треугольника ABC, то есть треугольник, вершины которого суть средины сторон треугольника ABC, называется дополнительным, или серединным, для данного треугольника.
• Ортотреугольник — треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника. Стороны ортотреугольника антипараллельны соответствующим сторонам данного треугольника.
• Треугольник Нагеля для треугольника ABC определяется вершинами T_A, T_B и T_C, которые являются точками касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Например, точка T_A противоположна стороне A, и т. д.
• Треугольник Жергонна для треугольника ABC определяется вершинами T_A, T_B и T_C, которые являются точками касания вписанной окружности с соответствующими сторонами треугольника ABC. Треугольник Жергонна T_AT_BT_C известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

• Треугольник A″B″C″, стороны которого проходят через вершины треугольника ABC и параллельны противолежащим его сторонам, называется антидополнительным для данного треугольника ABC.
• Если вокруг данного остроугольного треугольника ∆ABC описать окружность и в трёх вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует так называемый тангенциальный треугольник ΔA′B′C′ по отношению к данному треугольнику ΔABC. Стороны тангенциального треугольника ΔA′B′C′ антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника и параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Если вне данного треугольника ∆ABC провести через его вершины три его внешние биссектрисы, то они пересекутся в трёх центрах вневписанных окружностей, образуя треугольник трёх внешних биссектрис.

• Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
• Треугольник Эйлера или треугольник Фейербаха — треугольник, вершинами которого служат середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр и его вершины.

Каждый остроугольный треугольник имеет три вписанных квадрата (квадраты вписаны в него таким образом, что все четыре вершины квадрата лежат на разных сторонах треугольника, так что двое из них лежат на одной стороне и, следовательно, одна сторона квадрата совпадает с частью одной треугольника, а остальные две вершины квадрата касаются двух оставшихся сторон опорного треугольника). В прямоугольном треугольнике два из таких квадратов совпадают и имеют две стороны, выходящими из вершины с прямым углом треугольника, а четвертая вершина двух таких совпадающих квадратов лежит на середине гипотенузы. Другой тип квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник, имеет одну сторону и две её вершины лежащими на гипотенузе, а две оставшиеся вершины квадрата лежат на разных катетах прямоугольного треугольника. Таким образом, прямоугольный треугольник имеет только два различных вида вписанных квадратов. Тупоугольный треугольник имеет только один вписанный квадрат, со стороной, совпадающей с частью самой длинной стороны треугольника. В пределах данного треугольника, самая длинная сторона треугольника целиком содержит одну из сторон вписанного квадрата. Если вписанный квадрат имеет длину стороны, равную q_a, и одна из его сторон которого целиком лежит на стороне треугольника длиной a; высота, опущенная на эту сторону, равна h_a, а площадь треугольника равна S, тогда согласно [26][27]

${\displaystyle q_{a}={\frac {2Sa}{a^{2}+2S}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.}$

• Первый (второй) Шестиугольник Лемуана представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны (соответственно: антипараллельны) сторонам и которые проходят через его точку Лемуана. В любом треугольнике первый (второй) шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с тремя парами вершин, лежащих попарно на каждой стороне треугольника.
• Шестиугольник Эйлера представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность (Окружность Эйлера). Его вершинами являются шесть точек: три основания медиан и три основания высот данного опорного треугольника.