Описанное и вписанное конические сечения

Центр описанного конического сечения — это точка

u(−au + bv + cw) : v(au − bv + cw) : w(au + bv − cw).

Прямые, касательные коническому сечению в точках A,B и C, задаются уравнениями

wv + vz = 0,

uz + wx = 0,

vx + uy = 0.

Центр вписанного конического сечения — это точка

cy + bz : az + cx : bx + ay.

Касательные к этой конике — это стороны треугольника ΔABC, и они задаются уравнениями x = 0, y = 0, z = 0.

• Любое описанное коническое сечение, не являющееся окружностью, пересекает описанную вокруг ΔABC окружность в точке, отличной от A, B и C, которую часто называют четвёртой точкой пересечения, и она имеет трилинейные координаты

(cx − az)(ay − bx) : (ay − bx)(bz − cy) : (bz − cy)(cx − az)

• Если точка P = p : q : r лежит на описанном коническом сечении, то прямая, касательная сечению в точке P, задаётся уравнением

(vr + wq)x + (wp + ur)y + (uq + vp)z = 0.

• Описанное коническое сечение является параболой тогда и только тогда, когда

u²a² + v²b² + w²c² − 2vwbc − 2wuca − 2uvab = 0,

и гиперболой тогда и только тогда, когда

u cos A + v cos B + w cos C = 0.

• Из всех треугольников, вписанных в заданный эллипс, центроид треугольника с наибольшей площадью совпадает с центром эллипса[3]. Эллипс, проходящий через три вершины треугольника, с центром, совпадающим с центроидом треугольника, называется описанным эллипсом Штейнера.

• Вписанное коническое сечение является параболой тогда и только тогда, когда

ubc + vca + wab = 0,

и в этом случае коническое сечение касается одной стороны треугольника извне и касается продолжения двух других сторон.

• Предположим, что p₁ : q₁ : r₁ и p₂ : q₂ : r₂ различные точки, и пусть

X = (p₁ + p₂t) : (q₁ + q₂t) : (r₁ + r₂t).

Когда параметр t пробегает все вещественные числа, геометрическое место точек X является прямой. Определим

X² = (p₁ + p₂t)² : (q₁ + q₂t)² : (r₁ + r₂t)².

Геометрическое место точек X² является вписанным коническим сечением, обязательно эллипсом, которое задаётся уравнением

L⁴x² + M⁴y² + N⁴z² − 2M²N²yz − 2N²L²zx − 2L²M²xy = 0,

где

L = q₁r₂ − r₁q₂,

M = r₁p₂ − p₁r₂,

N = p₁q₂ − q₁p₂.

• Точка внутри треугольника является центром вписанного в треугольник эллипса тогда и только тогда, когда точка лежит внутри треугольника, вершинами которого служат середины исходного треугольника[4]. Для точки внутри серединного треугольника эллипс с центром в этой точке единственен[5].
• Вписанный эллипс с наибольшей площадью является вписанным эллипсом Штейнера, который называется также серединным вписанным эллипсом. Центр этого эллипса совпадает с центроидом треугольника[6]. В общем случае отношение площади вписанного эллипса к площади треугольника в терминах барицентрических координат ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ центра эллипса равно[7].

${\displaystyle {\frac {\text{Area of inellipse}}{\text{Area of triangle}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},}$

и это отношение максимизируется при совпадении с барицентрическими координатами центроида треугольника ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =1/3.}$

• Прямые, соединяющие точки касания любого вписанного в треугольник эллипса с противолежащей вершиной, пересекаются в одной точке[8].