Окружности Джонсона

Набор окружностей Джонсона состоит из трёх окружностей одинакового радиуса r, имеющих одну общую точку пересечения H. В такой конфигурации окружности обычно имеют четыре точки пересечения (точки, через которые проходят по меньшей мере две окружности) — это общая точка пересечения H, через которую проходят все три окружности, и по дополнительной точке для каждой пары окружностей (будем о них говорить как о попарных пересечениях). Если любые две окружности не пересекаются (а только лишь касаются) они имеют лишь одну общую точку — H, и в этом случае считается, что H является и их попарной точкой пересечения также. Если же окружности совпадают, принимается за попарную точку пересечения точка, диаметрально противоположная точке H. Три точки попарных пересечений окружностей Джонсона образуют опорный треугольник Δ ABC фигуры. Конфигурация названа именем Роджера Артура Джонсона[1][2].

Теорема Джонсона утверждает, что если три синие окружности на рисунке имеют один и тот же радиус и все три проходят через точку H, то получающаяся красная окружность имеет тот же радиус, что и синие окружности. Зелёный треугольник ΔJ_AJ_BJ_C является тогда треугольником Джонсона чёрного треугольника ΔABC и имеет описанную окружность (оранжевая) радиуса r.

Замечание

Если исходный опорный треугольник ABC остроугольный и заранее задан, то в силу теоремы Гамильтона три его окружности Джонсона одинаковых радиусов являются просто тремя описанными окружностями трех треугольников Гамильтона, имеющими в качестве двух вершин две вершины данного опорного треугольника ABC, а в качестве третьей вершины ортоцентр H опорного треугольника.

Свойства

Антикомплементарная окружность (красная, радиус 2R) треугольника ΔABC касается трёх окружностей Джонсона, и центры окружностей лежат на отрезках (оранжевые), соединяющих общую точку пересечения H и точки касания. Точки касания образуют антикомплементарный треугольник, ΔP_AP_BP_C (зелёный).

Центры окружностей Джонсона лежат на окружности того же радиуса R, что и окружности Джонсона, и эта окружность имеет центром точку H. Сами же центры окружностей формируют треугольник Джонсона ΔJ_AJ_BJ_C.
Окружность радиуса 2R с центром в точке H, известная как антикомплементарная окружность, касается всех трёх окружностей Джонсона (R - радиус описанной окружности треугольника ABC ). Три точки касания являются отражениями точки H относительно вершин треугольника Джонсона.
Точки касания окружностей Джонсона и антикомплементарной окружности образуют треугольник, носящий название «антикомплементарный треугольник» или «антидополнительный треугольник» опорного (исходного) треугольника ABC. Этот треугольник подобен треугольнику Джонсона и гомотетичен ему с множителем 2 и центром подобия H.
Теорема Джонсона: Точки попарных пересечений окружностей Джонсона (вершины треугольника ABC) лежат на окружности того же радиуса R, что и окружности Джонсона. Это свойство хорошо известно в Румынии как задача пяти монет Георге Цицейки.
Опорный треугольник равен треугольнику Джонсона и гомотетичен ему с множителем −1. То есть треугольник Джонсона переходит в опорный треугольник поворотом одного из них на угол 180 градусов относительно их центра подобия.
Точка H является ортоцентром опорного треугольника и центром описанной окружности треугольника Джонсона.
Центр подобия треугольника Джонсона и опорного треугольника является их общим центром девяти точек. То есть треугольник Джонсона и опорный треугольник имеют общую окружность девяти точек.
Замечание. Вершины треугольника Джонсона обозначены через J_A, J_B и J_C, то есть также, как и центры вневписанных окружностей опорного треугольника. Они таковыми не являются. В силу теоремы о трезубце для центра $J_{B}$ вневписанной окружности, касающейся стороны $AC$ , имеем $|DI|=|DA|=|DC|=|DJ_{B}|$ , где $I$ центр вписанной окружности опорного треугольника, $D$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с описанной окружностью треугольника $ABC$ . У нас выполняется аналогичное соотношение $|J_{A}H|=|J_{A}C|=|J_{A}B|=|J_{A}P_{A}|$ . Однако точка $J_{A}$ не лежит на описанной окружности треугольника $ABC$ (то есть не является аналогом точки $D$ ), а ортоцентр $H$ не является центром $I$ вписанной окружности опорного треугольника.

Замечание

H — ортоцентр треугольника ABC (тогда в силу теоремы Гамильтона радиусы окружностей Джонсона равны). O — центр описанной окружности треугольника ABC. Как и теорема Гамильтона, теорема Джонсона имеет смысл только для остроугольных треугольников. Точки J_A, J_B и J_C обозначены по первой букве фамилии Johnson, и не являются центрами вневписанных окружностей треугольника ABC, которые обозначаются аналогичными буквами.

Доказательства

Свойство 1 очевидно из определения.

Свойство 2 также понятно — для любой окружности радиуса r и любой точки P на ней окружность с радиусом 2r и центром в P касается окружности в точке, противоположной точке P. В частности, это верно и для P=H, где окружность радиуса 2r— антикомплементарная окружность C.

Свойство 3 немедленно следует из определения подобия.

Для свойств 4 и 5 сначала заметим, что любые две окружности Джонсона из трёх симметричны относительно прямой, проходящей через точку H и точку попарных пересечений этих окружностей (или относительно общей касательной в H, если эти точки совпадают) и эта симметрия обменивает местами две вершины антикомплементарного треугольника, лежащих на этих окружностях. Таким образом, попарные точки пересечения являются серединами антикомплементарного треугольника, и H лежит на перпендикуляре к середине этой стороны. Средние точки сторон любого треугольника являются образами вершин треугольника при гомотетии с множителем −½ и центром, совпадающим с центром тяжести треугольника. Применяя это свойство к антикомплементарному треугольнику, который сам получается из треугольника Джонсона гомотетией с множителем 2, из композиции гомотетий получим, что опорный треугольник подобен треугольнику Джонсона с множителем −1. Поскольку такая гомотетия является конгруэнтностью, это даёт свойство 5, а также доказывает теорему Джонсона, поскольку равные треугольники имеют равные радиусы описанных окружностей.

Свойство 6. Уже установлено, что перпендикуляры к серединам сторон антикомплементарного треугольника проходят через точку H. Вследствие того, что эти стороны параллельны сторонам опорного треугольника, эти перпендикуляры являются также высотами опорного треугольника.

Свойство 7 немедленно следует из свойства 6, поскольку центр подобия с множителем -1 должен лежать посередине между центром описанной окружности O опорного треугольника и точкой H. Точка H является ортоцентром опорного треугольника и его центр девяти точек, как известно, является этой серединой. Ввиду центральной симметрии, отображающей ортоцентр опорного треугольника в ортоцентр треугольника Джонсона, центр подобия является также центром девяти точек треугольника Джонсона.

Имеется также алгебраическое доказательство теоремы окружностей Джонсона, использующее простые векторные формулы. Имеются вектора ${\vec {u}}$ , ${\vec {v}}$ и ${\vec {w}}$ , все длины r, и окружности Джонсона имеют центры в точках $H+{\vec {u}}$ , $H+{\vec {v}}$ и $H+{\vec {w}}$ соответственно. Тогда попарными пересечениями будут $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}$ , $H+{\vec {u}}+{\vec {w}}$ и $H+{\vec {v}}+{\vec {w}}$ соответственно, и ясно, что точка $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}$ имеет расстояние r до любой попарной точки пересечения.

Дальнейшие свойства

Три окружности Джонсона можно рассматривать как отражения описанной вокруг опорного треугольника окружности относительно его трёх сторон. Более того, при отражении ортоцентр H переходит в три точки на описанной вокруг опорного треугольника окружности, формируя вершины ортокругового треугольника, центр описанной окружности O отображается в вершины треугольника Джонсона, а его прямая Эйлера (прямая, проходящая через O, N и H) образует три прямых, пересекающихся в точке X(110).

Описанный эллипс Джонсона

Треугольник Джонсона и его опорный треугольник имеют совпадающие центры девяти точек, ту же самую прямую Эйлера и те же самые окружности девяти точек. Шесть точек — вершины опорного треугольника и вершины его треугольника Джонсона — лежат на эллипсе Джонсона, имеющем центр в центре девяти точек и точка X(216) опорного треугольника является его точкой перспективы. Описанный эллипс и описанная окружность имеют четыре общие точки — три вершины опорного треугольника и точку X(110).

И, наконец, существуют две интересные и описанные в литературе кубические кривые, проходящие через вершины опорного треугольника и его треугольника Джонсона, а также через центр описанной окружности, ортоцентр и центр девяти окружностей. Первая кривая известна как кривая Муссельмана — K026. Эта кривая проходит также через вершины срединного треугольника и срединного треугольника треугольника Джонсона. Вторая кривая известна как кривая центров Эйлера — K044. Эта кривая также проходит через шесть точек — основания высот и основания высот треугольника Джонсона.

Обозначение точки X(i) принадлежит классификации Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling) в энциклопедии точек треугольника.

Примечания

Johnson, 1929.
Johnson, 1916, с. 161—162.

Литература

Roger Arthur Johnson. Modern Geometry:An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. — Houghton: Mifflin Company, 1929.
Roger Arthur Johnson. A Circle Theorem // American Mathematical Monthly. — 1916. — Вып. 23.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Johnson Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
F. M. Jackson and Weisstein, Eric W. Johnson Circles (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
F. M. Jackson and Weisstein, Eric W. Johnson Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Johnson Circumconic (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Circum-Orthic Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Bernard Gibert Circumcubic K026
Bernard Gibert Circumcubic K044
Clark Kimberling, "Encyclopedia of triangle centers". (Lists some 3000 interesting points associated with any triangle.)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_4a993903a60f4c8d-1] Johnson, 1929.

[_aaa99ffce35fd94c-2] Johnson, 1916, с. 161—162.