Касательная прямая к окружности

Построение касательной прямой к окружности (выделена красным) перпендикулярно радиусу.

Относительно легко построить прямую t, касательную к окружности в точке T на окружности. Для этого следует провести прямую a через центр окружности O и точку T. Тогда прямая t является перпендикуляром к прямой a. Один из способов построения перпендикуляра следующий (см. рисунок). Проводим тем же радиусом (r) окружность с центром в точке T, получаем вторую точку G на прямой a, а точка T становится серединой отрезка OG. Проводим две окружности радиуса R>r с центрами в точках O и G. Прямая, проходящая через точки пересечения этих окружностей, будет касательной.

Построение касательной прямой к окружности

Для построения касательной прямой через точку P к окружности C можно использовать свойство угла, опирающегося на диаметр окружности. Проводится окружность с центром в точке H, середине отрезка OP, где O — центр окружности C. Пересечения T и T‘ являются точками касания прямых, проходящих через точку P, поскольку углы ∠OTP и ∠OT‘P опираются на диаметр OP окружности с центром в H.

Описанный четырёхугольник ABCD — это замкнутая фигура с четырьмя сторонами, которые касаются окружности C. Соответственно, C — вписанная в четырёхугольник ABCD окружность. По теореме Пито суммы противоположных сторон любого такого четырёхугольника равны, то есть

${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {BC}}+{\overline {DA}}.}$

Описанный четырёхугольник

Это заключение следует из равенства отрезков касательных от вершин четырёхугольника. Обозначим точки касания как P (на отрезке AB), Q (на отрезке BC), R (на отрезке CD) и S (на отрезке DA). Симметричные отрезки до точек касания от каждой вершины четырёхугольника ABCD равны, то есть BP=BQ=b, CQ=CR=c, DR=DS=d и AS=AP=a. Но каждая сторона четырёхугольника состоит из двух таких отрезков

${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CD}}=(a+b)+(c+d)={\overline {BC}}+{\overline {DA}}=(b+c)+(d+a)}$,

что и доказывает утверждение.

Обратное утверждение также верно — окружность можно вписать в любой выпуклый четырёхугольник, у которого суммы длин противоположных сторон равны.[1]

Эта теорема и обратная к ней имеют различные применения. Например, из теоремы немедленно следует, что ни в какой прямоугольник не может быть вписана окружность, если только это не квадрат, а также что можно вписать окружность в любой ромб, хотя в общем случае вписать в параллелограмм окружность нельзя.

Построение внешних касательных.

Красные прямые, соединяющие точки T₁ и T₃, T₂ и T₄, являются внешними касательными двух окружностей.

Внутренние касательные — это касательные, которые пересекают отрезок, соединяющий центры окружностей. Заметим, что внутренние касательные не существуют в случае пересекающихся окружностей.

Построение внутренних касательных

Касательные к двум окружностям могут быть построены с помощью нахождения центров гомотетии, как описано выше, а затем построения касательных, проходящих через эти центры. Можно также построить касательные прямые и касательные точки прямо, как описано ниже.

Пусть O₁ и O₂ — два центра двух окружностей C₁ и C₂ и пусть r₁ и r₂ — их радиусы, при этом r₁ > r₂. Другими словами, окружность C₁ будем считать большей из двух окружностей. Два различных способа можно использовать для построения внешних и внутренних касательных прямых.

Внешние касательные

Рисуем новую окружность C₃ с радиусом r₁ − r₂ с центром в O₁. Используя метод, описанный выше, проводим две касательные прямые из точки O₂ к этой новой окружности. Эти прямые параллельны искомым касательным прямым, поскольку это соответствует уменьшению радиусов обеих окружностей C₁ и C₂ на одно и то же число r₂, в результате чего окружность C₂ превращается в точку. Через две точки касания на окружности C₃ можно провести два луча из центра O₁. Эти лучи пересекают C₁ в искомых точках касания. Искомые касательные перпендикулярны этим радиальным лучам и могут быть построены, как показывалось выше.

Внутренние касательные

Рисуем новую окружность C₃ с радиусом r₁ + r₂ с центром в O₁. Используя метод, описанный выше, проводим две касательные прямые из точки O₂ к этой новой окружности. Эти прямые параллельны искомым касательным прямым, поскольку это соответствует уменьшению радиуса окружности C₂ до нуля с одновременным увеличением радиуса C₁ на ту же константу r₂. Два радиальных луча можно провести из центра O₁ через точки касания на C₃. Эти лучи пересекают C₁ в искомых точках касания. Искомые внутренние касательные перпендикулярны радиальным лучам и пересекают лучи в найденных точках, так что их можно построить вышеуказанным методом.

Фактически это то же самое построение, что и для внешних касательных, если принять, что радиус меньшей окружности отрицателен.

Пусть окружности имеют центры c₁ = (x₁,y₁) и c₂ = (x₂,y₂) и радиусы r₁ и r₂ соответственно. Пусть касательная прямая имеет уравнение ${\displaystyle ax+by+c=0,}$ с нормализацией a² + b² = 1, тогда расстояние от центров окружностей до прямой вычисляется по формулам:

ax₁ + by₁ + c = r₁ и

ax₂ + by₂ + c = r₂.

Вычтем первое уравнение из второго, получим

aΔx + bΔy = Δr

где Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁ и Δr = r₂ − r₁.

Если ${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}$ — расстояние от c₁ до c₂, мы можем нормализовать, сделав замену X = Δx/d, Y = Δy/d и R = Δr/d для упрощения уравнений, что даёт уравнения aX + bY = R и a² + b² = 1. Решаем их и получаем два решения (k = ±1) для двух внешних касательных линий:

a = RX − kY√(1 − R²)

b = RY + kX√(1 − R²)

c = r₁ − (ax₁ + by₁)

Геометрически это соответствует вычислению угла, образованного касательной и прямой, проведённой через центры, а затем линия центов поворачивается для получения уравнения касательной. Угол можно вычислить с помощью тригонометрии из прямоугольного треугольника, вершинами которого являются (внешний) центр гомотетии, центр окружности и точка касания. Гипотенуза лежит на прямой центров, радиус является катетом, противоположным углу, а прилегающий к углу катет лежит на касательной прямой.

(X, Y) — это единичный вектор, направленный от c₁ в c₂, в то время как R равен ${\displaystyle \cos \theta }$, где ${\displaystyle \theta }$ — угол между линией центров и касательной. ${\displaystyle \sin \theta }$ тогда равен ${\displaystyle \pm {\sqrt {1-R^{2}}}}$ (в зависимости от знака ${\displaystyle \theta }$, что эквивалентно направлению вращения), и приведённые выше уравнения являются вращением (X, Y) на ${\displaystyle \pm \theta ,}$ с помощью матрицы вращения

${\displaystyle {\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}}$

k = 1 — это касательная прямая справа от окружностей, если смотреть из c₁ в направлении c₂.

k = −1 — это касательная прямая справа от окружностей, если смотреть из c₂ в направлении c₁.

Все рассуждения выше предполагают, что радиусы окружностей положительны. Если r₁ положителен, а r₂ отрицателен, то c₁ будет лежать слева от каждой прямой, а c₂ — справа, и две касательные прямые пересекутся. Таким путём можно получить все четыре решения. Смена знака обоих радиусов приводит к обмену вариантов k = 1 и k = −1.

В общем случае точки касания t₁ и t₂ для любой из четырёх касательных прямых к окружностям с центрами в v₁ и v₂ и с радиусами r₁ и r₂ получаются путём решения четырёх уравнений:

${\displaystyle {\begin{aligned}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{aligned}}}$

Эти уравнения выражают тот факт, что касательная прямая перпендикулярна радиусам, а точки касания лежат на соответствующих окружностях.

Эти четыре квадратных уравнения с двумерными векторными переменными в общем случае дают четыре пары решений.

Две различные окружности могут иметь, в зависимости от взаимного расположения, от нуля до четырёх прямых, касающихся обеих окружностей. Варианты можно классифицировать по расстоянию между центрами и радиусам.

• Если окружности не соприкасаются (${\displaystyle d>r_{1}+r_{2}}$), что является общим положением, имеются четыре касательные, касающиеся одновременно обеих окружностей.
• Если окружности соприкасаются (${\displaystyle d=r_{1}+r_{2}}$) — имеют одну точку внешнего касания — они имеют две внешних общих касательных и одну внутреннюю, проходящую через точку касания окружностей. Эта общая касательная прямая имеет кратность два.
• Если окружности пересекаются в двух точках (${\displaystyle |r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}}$), у них нет внутренних общих касательных и есть две внешние касательные прямые.
• Если окружности касаются друг друга изнутри (${\displaystyle d=|r_{1}-r_{2}|}$) — имеется одна точка внутреннего касания — у них нет внутренних общих касательных и имеется одна общая внешняя касательная, проходящая через точку касания окружностей, и эта прямая имеет кратность два.
• Если одна окружность полностью внутри другой (${\displaystyle d<|r_{1}-r_{2}|}$), у них нет общих касательных, поскольку любая касательная к внутренней окружности будет секущей к внешней.

И наконец, если окружности совпадают, любая касательная прямая к одной окружности будет общей касательной.

Далее понятие общей касательной прямой можно расширить на случай окружностей отрицательного радиуса (которые образованы теми же самыми точками ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},}$ но «наизнанку»). В этом случае, если радиусы имеют противоположные знаки (одна окружность имеет положительный радиус, другая — отрицательный) внешний и внутренний центры гомотетии меняются местами и внешние и внутренние общие касательные меняются местами. Если же радиусы имеют один и тот же знак (оба радиуса положительны или оба отрицательны), то понятия «внешний» и «внутренний» имеют обычный смысл.

Общие касательные можно определить для окружностей с нулевым радиусом. В этом случае окружность с нулевым радиусом трактуется как двойная точка, а потому любая прямая, проходящая через эту точку, пересекает её с кратностью два. Если окружность имеет радиус ноль, общая касательная прямая — это просто касательная прямая к окружности, проходящая через точку, но считается эта прямая дважды. Если обе окружности имеют нулевой радиус, то общая касательная прямая — это прямая, проходящая через две точки, и эта прямая имеет кратность четыре.

Заметим, что в этих вырожденных случаях внешний и внутренний центры гомотетии остаются (внешний центр уходит в бесконечность, если радиусы равны), за исключением случая, когда окружности совпадают (в этом случае внешний центр не определён), или когда обе окружности имеют нулевой радиус (в этом случае отсутствует внутренний центр).

Внутренние и внешние касательные полезны при решении задачи о ремённой передаче, которая заключается в вычислении длины ремня, который плотно бы прилегал к колёсам передачи. Если считать ремень математической кривой с пренебрежительно малой толщиной и если колёса передачи находятся точно в одной плоскости, задача сводится к суммированию отрезков касательных с соответствующими длинами дуг. Если ремень натянут на колёса с пересечением, необходимо рассматривать внутренние касательные. Если же ремень натянут без пересечения, необходимо рассматривать внешние касательные. Последний случай иногда называется задачей шкивов.