Плоская кривая четвёртой степени

Кривая-амперсанд — это плоская кривая четвёртой степени с уравнением

${\displaystyle \ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.}$

Кривая имеет род нуль с тремя обыкновенными двойными точками на вещественной плоскости.[1]

Кривая-боб — это плоская кривая четвёртой степени с уравнением

${\displaystyle x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,}$

Боб имеет род нуль. Кривая имеет одну особенность в начале координат, обыкновенную тройную точку[2]. [3]

Двукаспидная кривая — это плоская кривая четвёртой степени с уравнением

${\displaystyle (x^{2}-a^{2})(x-a)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,}$,

где a определяет размер кривой. Двукаспидная кривая имеет только две узловые точки в качестве сингулярностей, а потому является кривой рода один[4].

Бант — это плоская кривая четвёртой степени с уравнением

${\displaystyle x^{4}=x^{2}y-y^{3}.\,}$

Бант имеет одну тройную точку в x=0, y=0, а потому является рациональной кривой рода нуль [5].

Крестообразная кривая или кривая-крест — это плоская кривая четвёртой степени, задаваемая уравнением

${\displaystyle x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,}$,

где a и b — два параметра, определяющие форму кривой. Крестообразная кривая связана стандартным квадратичным преобразованием x ↦ 1/x, y ↦ 1/y с эллипсом ${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1}$, а потому является рациональной плоской алгебраической кривой рода нуль. Крестообразная кривая имеет три двойные точки на вещественной проективной плоскости в точках x=0 и y=0, x=0 и z=0, y=0 и z=0.[6]

Поскольку кривая является рациональной, она может быть параметризована рациональными функциями. Например, если a=1 и b=2, то уравнения

${\displaystyle x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3}},\quad y={\frac {t^{2}-2t+5}{2t-2}}}$

задают параметризацию точек на кривой, кроме исключительных случаев, когда знаменатель обращается в нуль.

Спирическое сечение можно определить как бициркулярную кривую четвёртой степени, симметричную относительно осей x и y. Спирические сечения входят в семейство торических сечений и содержат семейство лемнискат Бута и семейство овалов Кассини. Название происходит от греческого слова σπειρα, означающего тор.

В декартовых координатах уравнение можно записать

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,}$

а в полярных координатах как

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,}$

Трёхлистный клевер — это плоская кривая четвёртой степени

${\displaystyle x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,}$

Разрешив уравнение относительно y, получим следующую функцию

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2}}}}{2}}},}$

где два знака ${\displaystyle \pm }$ не зависят друг от друга, что даёт до четырёх различных значений y для каждого x.

Параметрическим уравнением трёхлистного клевера будет

${\displaystyle x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,}$[7].

В полярных координатах (${\displaystyle x=r\cos(\varphi ),y=r\sin(\varphi )}$) уравнение принимает вид

${\displaystyle r=\cos(3\varphi ).\,}$

Кривая является частным случаем розы с k = 3. Эта кривая имеет тройную точку в начале координат (0, 0) и имеет три двойные касательные.