Лемниската Жероно

Лемниска́та Жероно́, или лемниската Гюйгенса — плоская кривая, удовлетворяющая уравнению ${\displaystyle \textstyle x^{4}=a^{2}(x^{2}-y^{2})}$.

Лемниската Жероно

Получила свое название в честь французского математика Камиля-Кристофа Жероно, который описал её свойства в своем учебнике по геометрии, изданном в Париже в 1854 г.

Уравнение кривой в плоских координатах: ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {\frac {a^{2}x^{2}-x^{4}}{a^{2}}}}}$.

Лемниската Жероно является уникурсальной кривой, поэтому может быть описана в параметрическом виде через рациональные функции:

${\displaystyle x=a{\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ \ y=a{\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}}$.

Также параметрический вид через тригонометрические функции:

${\displaystyle x=a\cos(t),\ \ y=a\sin(t)\cos(t)=a\sin(2t)/2,}$

или

${\displaystyle x=a\cos(\omega t),\ \ y=b\sin(\omega t)\cos(\omega t)=b\sin(2\omega t)/2}$

и является одной из фигур Лиссажу с удвоенной частотой колебаний по оси ${\displaystyle y}$ относительно колебаний по оси ${\displaystyle x}$ и нулевым сдвигом фаз.