Циссоида
Циссоида — это кривая, созданная из двух заданных кривых C1, C2 относительно точки O (полюса). Пусть L — прямая, проходящая через O и пересекающая C1 в точке P1, а C2 — в точке P2. Пусть P — точка на L такая, что OP = P1P2 (на самом деле имеются две таких точки, но P выбирается так, что P находится в том же направлении от O, что и P2 от P1). Множество таких точек P называется циссоидой кривых C1, C2 относительно O.

Слегка отличные, но, в сущности, эквивалентные определения можно встретить у различных авторов. Например, P может быть определена такой точкой, что OP = OP1 + OP2. Это определение эквивалентно приведённому, если C1 заменить её отражением относительно O. Также можно определить P как середину P1 и P2. Эта кривая совпадает с кривой из предыдущего определения с коэффициентом подобия 1/2.
Слово «циссоида» пришло из греческого языка — kissoeidēs «подобный плющу» — от kissos «плющ» и oeidēs «подобный».
Уравнения
Если C1 и C2 заданы в полярных координатах функциями и соответственно, то уравнение задаёт циссоиду C1 и C2 относительно начала координат. Однако точка может быть представлена различными способами в полярных координатах, так что могут существовать другие ветки циссоиды с другими уравнениями. В частности, C1 можно задать как
- .
Таким образом, циссоида — это объединение кривых, заданных уравнениями
- .
Часть из этих уравнений приведут к повторению кривых и могут быть исключены.
Например, пусть C1 и C2 — это эллипсы
- .
Первая ветвь циссоиды задаётся уравнением
- ,
то есть, эта ветвь является одной точкой — началом координат. Эллипс также задаётся уравнением
- ,
так что вторая ветвь циссоиды задаётся уравнением:, и эта кривая имеет форму овала.
Если C1 и C2 заданы параметрическими уравнениями
и
- ,
то циссоида относительно начала координат задаётся уравнением:.
Специальные случаи
Если C1 является окружностью с центром в точке O, то циссоида является конхоидой кривой C2.
Если C1 и C2 — две параллельные прямые, то их циссоида — третья прямая, параллельная этим двум.
Гиперболы
Пусть C1 и C2 — две непараллельные прямые и пусть O — начало координат. Пусть C1 и C2 задаются в полярных координатах уравнениями
и
- .
Мы можем повернуть на угол так, что можем предположить, что . Тогда циссоида C1 и C2 относительно начала координат задаётся уравнением
-
- .
Обозначив константные выражения, получим
что в декартовых координатах превращается в
- .
Эта формула задаёт гиперболу, проходящую через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, проходящей через полюс. Похожие рассуждения показывают, в обратную сторону, что любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на гиперболе.
Циссоиды Зарадника
Циссоида Зарадника (названа по имени Карела Зарадника) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на сечении. Эти циссоиды образуют широкое семейство рациональных кубических кривых, среди которых некоторые хорошо известны. В частности:
- Трисектриса Маклорена, задаваемая формулой
- является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат.
- является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат.
- является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат. Фактически это кривая, по которой семейство названо и некоторые авторы ссылаются на неё просто как на циссоиду.
- Циссоида окружности и прямой , где k — параметр. Циссоиду называют конхоидой Слюза (эти кривые не являются реальными конхоидами). Это семейство включает в себя предыдущие примеры.
- является циссоидой эллипса и прямой относительно начала координат. Чтобы это показать заметим, что прямую можно задать как
- ,
- а эллипс можно задать как
- .
- Так что циссоида задаётся уравнением
- и это уравнение является параметрической форой листа.
См. также
Литература
- Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 293 с.
- Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — Москва: Физматгиз, 1961. — 263 с.
- J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — С. 53—56. — ISBN 0-486-60288-5.
- Michiel Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
- Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Cissoid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- C. A. Nelson "Note on rational plane cubics" Bull. Amer. Math. Soc. Volume 32, Number 1 (1926), 71—76.
- 2D Curves
- "Courbe Cissoïdale" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском)
- "Cissoïdales de Zahradnik" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском)