Циссоида

Пусть C₁ и C₂ — две непараллельные прямые и пусть O — начало координат. Пусть C₁ и C₂ задаются в полярных координатах уравнениями

${\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}$

и

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}}$.

Мы можем повернуть на угол ${\displaystyle (\alpha _{1}-\alpha _{2})/2}$ так, что можем предположить, что ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha }$. Тогда циссоида C₁ и C₂ относительно начала координат задаётся уравнением

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}}$

${\displaystyle ={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}}$.

Обозначив константные выражения, получим

${\displaystyle r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

что в декартовых координатах превращается в

${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy}$.

Эта формула задаёт гиперболу, проходящую через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, проходящей через полюс. Похожие рассуждения показывают, в обратную сторону, что любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на гиперболе.

Циссоида Зарадника (названа по имени Карела Зарадника) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на сечении. Эти циссоиды образуют широкое семейство рациональных кубических кривых, среди которых некоторые хорошо известны. В частности:

• Трисектриса Маклорена, задаваемая формулой

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$

является циссоидой окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ относительно начала координат.

• Правая строфоида

${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}$

является циссоидой окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x=-a}$ относительно начала координат.

• Циссоида Диокла

${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$

является циссоидой окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x=-2a}$ относительно начала координат. Фактически это кривая, по которой семейство названо и некоторые авторы ссылаются на неё просто как на циссоиду.

• Циссоида окружности ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ и прямой ${\displaystyle x=ka}$, где k — параметр. Циссоиду называют конхоидой Слюза (эти кривые не являются реальными конхоидами). Это семейство включает в себя предыдущие примеры.

• Декартов лист

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$

является циссоидой эллипса ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$ и прямой ${\displaystyle x+y=-a}$ относительно начала координат. Чтобы это показать заметим, что прямую можно задать как

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}},\ y=px}$,

а эллипс можно задать как

${\displaystyle x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px}$.

Так что циссоида задаётся уравнением

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}},\ y=px}$

и это уравнение является параметрической форой листа.