Лемниската Бута
Лемниската Бута — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.
Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:
Виды
Форма кривой зависит от соотношения между параметрами и . Если , то уравнение лемнискаты принимает вид
- , где и
В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид
Если , то уравнение лемнискаты принимает вид
- , где и
В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид
Частные случаи
- При лемниската Бута вырождается в две окружности
- При лемниската Бута вырождается в лемнискату Бернулли.
Свойства
- Лемниската Бута — ортогональная проекция на плоскость xOy линии пересечения поверхности параболоида с поверхностью конуса
- Лемнискату Бута можно получить инверсией кривой второго порядка с центром в начале координат.
Площадь
С помощью полярного уравнения лемнискаты можно определить площадь, которую она ограничивает. Для эллиптической лемнискаты:
Для гиперболической лемнискаты:
См. также
Литература
- А. А. Савелов. Кривые Персея // Плоские кривые: систематика, свойства, применение / под ред. А. П. Нордена. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — С. 144—146. — 294 с.
- Математическая энциклопедия / под. ред. И. М. Виноградова. — «Советская энциклопедия», 1977. — Т. 1. — С. 566.
- Weisstein, Eric W. Hippopede (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Courbe de Booth (фр.)