Кривая Безье

Пусть в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ размерности ${\displaystyle m\geqslant 1}$ над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ задана последовательность контрольных точек ${\displaystyle (\mathbf {P} _{0},\ldots ,\mathbf {P} _{n})}$, где ${\displaystyle n\geqslant 0}$, а ${\displaystyle \mathbf {P} _{k}=(x_{1,k},\ldots ,x_{m,k})}$ для ${\displaystyle k=0,\ldots ,n}$.

Тогда множество ${\displaystyle \left\{\mathbf {B} (t)|0\leqslant t\leqslant 1\right\}}$ точек ${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(z_{1}(t),\ldots ,z_{m}(t))}$ с координатами ${\displaystyle (z_{j}(t))_{j=1,\ldots ,m}}$, параметрически задаваемыми выражениями

${\displaystyle z_{j}(t)=\sum _{k=0}^{n}x_{j,k}b_{k,n}(t)\quad }$ для ${\displaystyle \quad 0\leqslant t\leqslant 1,\quad }$ где ${\displaystyle \quad j=1,\ldots ,m,\quad }$ а ${\displaystyle \quad b_{k,n}(t)={n \choose k}t^{k}(1-t)^{n-k}\quad }$ для ${\displaystyle \quad k=0,\ldots ,n}$,

называется кривой Безье.

Многочлен ${\displaystyle b_{k,n}(t)}$ степени ${\displaystyle n}$ по параметру ${\displaystyle t}$ называется базисной функцией (соответствующей контрольной точке ${\displaystyle \mathbf {P} _{k}}$) кривой Безье или полиномом Бернштейна.

Здесь ${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$ — число сочетаний из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$.

Замечания.

1) Кривая Безье, соответствующая как ${\displaystyle (\mathbf {P} _{0})}$ так и ${\displaystyle (\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{0},\ldots ,\mathbf {P} _{0})}$, есть точка ${\displaystyle \mathbf {P} _{0}}$.

2) Кривая Безье, соответствующая паре ${\displaystyle (\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{1})}$, то есть, при ${\displaystyle n=1}$, есть (линейно) параметризованный отрезок, соединяющий точку ${\displaystyle \mathbf {P} _{0}}$ (при ${\displaystyle t=0}$) с точкой ${\displaystyle \mathbf {P} _{1}}$ (при ${\displaystyle t=1}$).

3) При любом порядке ${\displaystyle n\geqslant 0}$ кривая Безье содержит как точку ${\displaystyle \mathbf {P} _{0}}$ (это — образ параметра ${\displaystyle t=0}$), так и точку ${\displaystyle \mathbf {P} _{n}}$ (это — образ параметра ${\displaystyle t=1}$).

4) Кривая Безье (в общем случае, то есть, если не выродилась в точку ${\displaystyle \mathbf {P} _{0}}$) ориентируема, поскольку является образом ориентированного отрезка ${\displaystyle [0;1]}$.

Последовательностям контрольных точек ${\displaystyle (\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{1},\ldots ,\mathbf {P} _{n-1},\mathbf {P} _{n})}$ и ${\displaystyle (\mathbf {P} _{n},\mathbf {P} _{n-1},\ldots ,\mathbf {P} _{1},\mathbf {P} _{0})}$ соответствуют кривые Безье, которые совпадают как множества точек, но имеют (в общем случае) противоположные ориентации.

5) Кривые Безье, соответствующие последовательностям контрольных точек ${\displaystyle (\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{1},\mathbf {P} _{2})}$ и ${\displaystyle (\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{2},\mathbf {P} _{1})}$, при ${\displaystyle \mathbf {P} _{1}\neq \mathbf {P} _{2}}$ не совпадают.

6) Если изменить ${\displaystyle (x_{j,0},\ldots ,x_{j,n})}$, то изменяется только ${\displaystyle z_{j}(t)}$.

Благодаря простоте задания и манипуляции кривые Безье нашли широкое применение в компьютерной графике для моделирования гладких линий. Кривая целиком лежит в выпуклой оболочке своих опорных точек. Это свойство кривых Безье с одной стороны значительно облегчает задачу нахождения точек пересечения кривых (если не пересекаются выпуклые оболочки опорных точек, то не пересекаются и сами кривые), а с другой стороны позволяет осуществлять интуитивно понятное управление параметрами кривой в графическом интерфейсе с помощью её опорных точек. Кроме того, аффинные преобразования кривой (перенос, масштабирование, вращение и др.) также могут быть осуществлены путём применения соответствующих трансформаций к опорным точкам.

Наибольшее значение имеют кривые Безье второй и третьей степеней (квадратичные и кубические). Кривые высших степеней при обработке требуют большего объёма вычислений и для практических целей используются реже. Для построения сложных по форме линий отдельные кривые Безье могут быть последовательно соединены друг с другом в сплайн Безье. Для того, чтобы обеспечить гладкость линии в месте соединения двух кривых, три смежные опорные точки обеих кривых должны лежать на одной прямой. В программах векторной графики, например Adobe Illustrator или Inkscape, подобные фрагменты известны под названием «путей» (path), а в 3DS Max и подобных программах 3D-моделирования кривые Безье имеют название «сплайны».

Квадратичная кривая Безье с координатами ${\displaystyle (x_{0};y_{0}),\,(x_{1};y_{1}),\,(x_{2};y_{2})}$ преобразовывается в кубическую кривую Безье с координатами ${\displaystyle (x_{0};y_{0}),\,\left(x_{0}+{\frac {2\cdot (x_{1}-x_{0})}{3}};y_{0}+{\frac {2\cdot (y_{1}-y_{0})}{3}}\right),\,\left(x_{1}+{\frac {x_{2}-x_{1}}{3}};y_{1}+{\frac {y_{2}-y_{1}}{3}}\right),\,(x_{2};y_{2})}$.

Уровень дискретизации определяется следующим образом:

${\displaystyle |B_{next}-B_{prev}|=1}$

, то есть каждая следующая точка должна отличаться от предыдущей на 1 (допустим пиксель). Причём, если задать ${\displaystyle B}$ следующим образом:

${\displaystyle \left\vert \sum _{k=0}^{n}{{\frac {n!}{k!\times (n-k)!}}\times t_{next}^{k}\times (1-t_{next})^{n-k}\times P_{k}}-\sum _{k=0}^{n}{{\frac {n!}{k!\times (n-k)!}}\times t_{prev}^{k}\times (1-t_{prev})^{n-k}\times P_{k}}\right\vert =1}$

Через него можно вычислить ${\displaystyle \Delta {t}}$.

Решим это уравнение для кривых Безье первого порядка (линейных):

${\displaystyle B(t)=(1-t)\times P_{0}+t\times P_{1},0\leq t\leq 1}$

${\displaystyle B(t)={\begin{cases}x=(1-t)\times P_{0_{x}}+t\times P_{1_{x}}\\y=(1-t)\times P_{0_{y}}+t\times P_{1_{y}}\end{cases}}}$

Запишем разницу точек для одной оси:

${\displaystyle {\left\vert P_{0}-t_{next}\times P_{0}+t_{next}\times P_{1}-P_{0}+t_{prev}\times P_{0}-t_{prev}\times P_{1}\right\vert }=1}$

Вынесем общие множители за скобки:

${\displaystyle {\left\vert t_{next}\times (P_{0}-P_{1})-t_{prev}\times (P_{0}-P_{1})\right\vert }=1}$

Найдём ${\displaystyle \Delta {t}}$:

${\displaystyle \Delta {t}={\left\vert t_{next}-t_{prev}\right\vert }=\left\vert {\frac {1}{P_{0}-P_{1}}}\right\vert }$

так можно вычислить уровень дискретизации для обхода конкретной оси кривой Безье определённого порядка. То есть Вам нужно получить 16 таких уравнений для кривых Безье с 1го по 16 порядок, она всегда задаётся точками, их координаты достаточно будет подставить в полученное уравнение, чтобы обойти кривую с минимальным однозначным уровнем дискретизации.

• Поверхность Безье
• NURBS
• B-сплайн
• Кривые

• Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. — М.: Мир, 2001.

• Wolfram Math World Bézier Curve (англ.)
• American Mathematical Society From Bézier to Bernstein (англ.)
• Кривые Безье в компьютерных играх  (рус.)
• Часы на кривых Безье (рус.)
• A Primer on Bézier Curves