Трисектриса Маклорена

Пусть две прямые вращаются вокруг точек ${\displaystyle P=(0,0)}$ и ${\displaystyle P_{1}=(a,0)}$, так что прямая, вращающаяся вокруг ${\displaystyle P}$, имеет с осью x угол ${\displaystyle \theta }$, а вращающаяся вокруг ${\displaystyle P_{1}}$, имеет угол ${\displaystyle 3\theta }$. Пусть ${\displaystyle Q}$ — точка пересечения, тогда угол, образованный прямыми в точке ${\displaystyle Q}$, равен ${\displaystyle 2\theta }$. По теореме синусов

${\displaystyle {r \over \sin 3\theta }={a \over \sin 2\theta }}$, так что в полярной системе координат это даст

${\displaystyle r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta }}={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )}$.

Таким образом, кривая принадлежит семейству конхоид Слюза.

В прямоугольной системе координат уравнение выглядит как

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$.

Если начало координат сдвинуть в (a, 0), то вывод, близкий к приведённому, показывает, что уравнение в полярных координат превращается в

${\displaystyle r={\frac {a}{2\cos {\theta \over 3}}}}$

делая её примером эписпирали.

Для заданного угла ${\displaystyle \phi }$ рисуем луч из ${\displaystyle (a,0)}$ так, что угол с осью ${\displaystyle x}$ составляет ${\displaystyle \phi }$. Рисуем луч из начала координат в точку пересечения первого луча с кривой. По построению кривой, угол между вторым лучом и осью ${\displaystyle x}$ равен ${\displaystyle \phi /3}$.

Кривая имеет пересечение с осью x в точке ${\displaystyle 3a \over 2}$ и двойную неподвижную точку в начале координат. Вертикальная прямая ${\displaystyle x={-{a \over 2}}}$ является асимптотой. Кривая пересекает прямую ${\displaystyle x=a}$ в точках ${\displaystyle (a,{\pm {1 \over {\sqrt {3}}}a})}$, соответствующих трисекции прямого угла. Как основная кубика, она имеет род нуль.

Трисектриса Маклорена может быть определена как коническое сечение тремя путями. Конкретно:

• Она является инверсией гиперболы по отношению к единичной окружности

${\displaystyle 2x=a(3x^{2}-y^{2})}$.

• Она является циссоидой окружности

${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$

и прямой ${\displaystyle x={a \over 2}}$ относительно начала координат.

• Она является подерой параболы относительно начала координат

${\displaystyle y^{2}=2a(x-{\tfrac {3}{2}}a)}$.

Вдобавок,

• Инверсия относительно точки ${\displaystyle (a,0)}$ является трисектрисой улитки.
• Трисектриса Маклорена связана с декартовым листом аффинным преобразованием.

• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — С. 36, 95, 104—106. — ISBN 0-486-60288-5.
• Weisstein, Eric W. Maclaurin Trisectrix (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• «Trisectrix of Maclaurin» на списке знаменитых кривых MacTutor
• «Trisectrix of MacLaurin» на 2dcurves.com
• «Trisectrix of Maclaurin» на Наглядном Словаре Плоских Кривых
• «Trisectrice de Maclaurin» на сайте Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Loy, Jim «Trisection of an Angle», Part VI