Циссоида Диокла

Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по $OX$ , а ось ординат по $OY$ , на отрезке $OA=2a$ , как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке $A$ проводится касательная $UV$ . Из точки $O$ проводится произвольная прямая $OF$ , которая пересекает окружность в точке $E$ и касательную в точке $F$ . От точки $F$ , в направлении точки $O$ , откладывается отрезок $FM$ , длина которого равна длине отрезка $OE$ . При вращении линии $OF$ вокруг точки $O$ , точка $M$ описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны синим и красным цветами.

Рис. 1. Построение циссоиды. Синяя и красная линии — ветви циссоиды.

Уравнения

Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:

y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)

Уравнение циссоиды в полярной системе координат:

\rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.

Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:

\rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=

=2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=

=2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).

Параметрическое уравнение циссоиды:

x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},

y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},

где

u=\mathrm {tg} \,\varphi

.

История

Впервые циссоиду исследовал греческий математик Диокл во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка $P$ , которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке $E$ ; ось симметрии — диаметр $BD$ . Из точки $P$ проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка $M$ , принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой $OE$ . Этим методом Диокл построил только кривую $DOB$ внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды ( $DOB$ ) замкнуть дугой окружности $EAD$ , то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — κισσός («киссос»), от чего и произошло название кривой — «Циссоида».

В современном виде циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Слюз.

Свойства

Циссоида симметрична относительно оси абсцисс.
Циссоида пересекает вспомогательную окружность в точках $B$ и $D$ , которые принадлежат диаметру этой окружности.
Циссоида имеет один касп и асимптоту $UV$ , уравнение которой: $x=2a$ , где $a$ — радиус вспомогательной окружности.
Циссоида является эвольвентой параболы с каспом в вершине параболы. При этом директриса параболы является асимптотой циссоиды.[1]

Площадь между циссоидой и асимптотой

Эта площадь равна:

S_{1}=3\pi a^{2}.

Вывод

Площадь, заключённая между ветвями циссоиды $KOL$ и асимптотой $UV$ $S_{1}$ . Уравнение верхней ветви $OL$ :

y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}.\qquad \qquad (2)

Половина площади заключённой между циссоидой и асимптотой равна интегралу от уравнения (2) в пределах от 0 до $2a$ :

{\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}\,dx.\qquad \qquad (3)

Подстановка:

u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.

Пределы интегрирования:

x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a}},\qquad x=2a\Rightarrow u=0.

Интеграл (3) преобразуется к виду:

{\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^{3}}}\,du=

=\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.

Итак:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.

S_{1}=3\pi a^{2}.

Объём тела вращения

Объём ( $V_{1}$ ) тела, образованного при вращении ветви $OL$ вокруг оси абсцисс, рассчитывается так:

V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=

=\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x}}\right)\,dx=

=\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0}^{2a}.

Если $x\to 2a$ , то $\ln(2a-x)\to -\infty$ , то есть $V_{1}\to \infty$ .

Примечания

Акопян А.В. Геометрия в картинках.

Литература

Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство). — Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 293 с.
Смогоржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — Москва: Физматгиз, 1961. — 263 с.

J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — 53—56 с. — ISBN 0-486-60288-5.
Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basel: Birkhäuser, 1981. 721 p.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Акопян А.В. Геометрия в картинках.