Квазитрохоида

Квазитрохоида — (от лат. quasi — нечто вроде, как будто, и греч. τροχοειδής — колесообразный) — плоская трансцендентная кривая, по форме напоминающая трохоиду, но отличающаяся тем, что центр вращения перемещается по произвольной траектории, радиус и частота вращения могут изменяться во времени по любому закону.

Квазитрохоиды имеют большое значение и широко используются в технике. Например, кривые, образуемые круговым движением и одновременно плоско-параллельным перемещением фрезы в станке с ЧПУ; движение летательного аппарата, перемещающегося в пространстве и вращающегося вокруг своей оси; траектория заряженной частицы в неоднородном и нестационарном электромагнитном поле.

Уравнение обычной трохоиды на плоскости записывается как:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)=x_{0}+v_{x}t+R\cos(\omega t+\theta _{0})\\y(t)=y_{0}+v_{y}t+R\sin(\omega t+\theta _{0})\end{matrix}}\right.}$ (3)

где: ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$ — координаты начального положения центра вращения; ${\displaystyle v_{x},v_{y}}$ — проекции скорости центра вращения; ${\displaystyle \omega }$ — циклическая частота вращения; ${\displaystyle \theta _{0}}$ — начальная фаза вращения.

Уравнение квазитрохоиды на плоскости записывается как:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)=x_{c}(t)+R(t)\cos(\theta (t))\\y(t)=y_{c}(t)+R(t)\sin(\theta (t))\end{matrix}}\right.}$ (2)

где: ${\displaystyle x_{c}(t),y_{c}(t)}$ — координаты поступательной составляющей (центра вращения); ${\displaystyle R(t)}$ — радиус вращения; ${\displaystyle \theta (t)}$ — фаза вращения; ${\displaystyle d\theta /dt=\omega (t)}$ — угловая частота вращения; Нестационарные параметры ${\displaystyle x_{c}(t),y_{c}(t),R(t),\theta (t)}$ сигнала (2) в общем случае могут изменяться совершенно произвольно.

Для упрощения используется комплексная форма записи параметрических уравнений (2). Полагая ${\displaystyle z(t)=x(t)+iy(t)}$, можно записать:

${\displaystyle z(t)=z_{c}(t)+R(t)\exp \left(i\theta (t)\right)}$ (3)