Архимедова спираль

Уравнение Архимедовой спирали в полярной системе координат записывается так:

(1)  ${\displaystyle \rho =k\varphi ,}$

где k — смещение точки M по лучу r при повороте на угол, равный одному радиану.

Повороту прямой на ${\displaystyle 2\pi }$ соответствует смещение a = |BM| = |MA| = ${\displaystyle 2k\pi }$. Число a — называется «шагом спирали». Уравнение Архимедовой спирали можно переписать так:

${\displaystyle \rho ={\frac {a}{2\pi }}\varphi .}$

При вращении луча против часовой стрелки получается правая спираль (синяя линия) (см. рис. 2), при вращении по часовой стрелке — левая спираль (зелёная линия).

Рис. 2

Обе ветви спирали (правая и левая) описываются одним уравнением (1). Положительным значениям ${\displaystyle \varphi }$ соответствует правая спираль, отрицательным — левая спираль. Если точка M будет двигаться по прямой UV из отрицательных значений через центр вращения O и далее в положительные значения, вдоль прямой UV, то точка M опишет обе ветви спирали.

Луч OV, проведённый из начальной точки O, пересекает спираль бесконечное число раз — точки B, M, A и так далее. Расстояния между точками B и M, M и A равны шагу спирали ${\displaystyle a=2k\pi }$. При раскручивании спирали расстояние от точки O до точки M стремится к бесконечности, при этом шаг спирали остаётся постоянным (конечным), то есть чем дальше от центра, тем ближе витки спирали по форме приближаются к окружности.

Площадь ${\displaystyle S}$ сектора OCM:

${\displaystyle \left(2\right)}$ ${\displaystyle S={\frac {1}{6}}\varphi \left(\rho ^{2}+\rho \rho '+\rho '^{2}\right)}$,

где ${\displaystyle \rho =OC}$, ${\displaystyle \rho '=OM}$, ${\displaystyle \varphi =\angle COM}$.

При ${\displaystyle \rho =0}$, ${\displaystyle \rho '=a}$, ${\displaystyle \varphi =2\pi }$, формула (2) даёт площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали и отрезком CO:

${\displaystyle S_{1}={\frac {1}{3}}\pi a^{2}={\frac {1}{3}}S'_{1}}$,

где ${\displaystyle S'_{1}}$ — площадь круга, радиус которого равен шагу спирали — ${\displaystyle a}$.

Все эти свойства и уравнения были открыты Архимедом.

Бесконечно малый отрезок дуги ${\displaystyle dl}$ равен (см. рис.3):

Рис. 3: Вычисление длины дуги Архимедовой спирали

${\displaystyle dl={\sqrt {d\rho ^{2}+dh^{2}}}}$,

где ${\displaystyle d\rho }$ — приращение радиуса ${\displaystyle \rho }$, при приращении угла ${\displaystyle \varphi }$ на ${\displaystyle d\varphi }$. Для бесконечно малого приращения угла ${\displaystyle d\varphi }$ справедливо:

${\displaystyle dh^{2}=\left(\rho d\varphi \right)^{2}}$.

Поэтому:

${\displaystyle dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}}$

так как ${\displaystyle \rho =k\varphi }$ и

${\displaystyle d\rho =kd\varphi }$

или

${\displaystyle dl={\sqrt {k^{2}d\varphi ^{2}+k^{2}\varphi ^{2}d\varphi ^{2}}}}$

${\displaystyle dl=kd\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}$.

Длина дуги ${\displaystyle L}$ равна интегралу от ${\displaystyle dl}$ по ${\displaystyle d\varphi }$ в пределах от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle \varphi }$:

${\displaystyle L=\int \limits _{0}^{\varphi }k{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}d\varphi }$

${\displaystyle L={\frac {k}{2}}\left[\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]}$.[1]

Трёхмерным обобщением архимедовой спирали можно считать проекцию конической спирали на плоскость, перпендикулярную оси конуса.

Архимедова спираль (черная), как проекция конической спирали на плоскость, перпендикулярную оси конуса, цилиндрическая спираль (зеленая) и коническая спираль (красная)

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Архимедова спираль