Шестиугольник Лемуана

Шестиугольник Лемуана можно сделать определенные двумя способами, сначала как простой шестиугольник с вершинами в точках пересечения, как определено ранее. Второй способ представляет собой самопересекающийся шестиугольник с линиями, проходящими через точку Лемуана в виде трех ребер, а три других ребра соединяют пары смежных вершин. Для простого самонепересекающегося шестиугольника, построенного внутри треугольника, с длинами сторон ${\displaystyle a,b,c}$ и площадью ${\displaystyle \Delta }$ периметр задается в виде:

${\displaystyle p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$,

а площадь задается в виде:

${\displaystyle S={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta }$

Для простого самопересекающегося шестиугольника, построенного внутри треугольника, периметр задается в виде:

${\displaystyle p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$,

а площадь задается в виде:

${\displaystyle S={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta }$.

В геометрии пять точек определяют коническое сечение, так что произвольные наборы из шести точек, в общем случае вообще не лежат на коническоом сечении, не говоря уже о круге. Тем не менее, шестиугольника Лемуана (либо с порядком подключения) является вписанным в окружность шестиугольником, а это означает, что все его вершины лежат на одной окружности. Окружность шестиугольника Lemoine известна как "первая окружность Лемуана" .

Второй шестиугольник Лемуана[2] представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые антипараллельны сторонам и которые проходят через его точку Лемуана.

• Casey, John (1888), Lemoine's, Tucker's, and Taylor's Circles, A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples (5th ed.), Dublin: Hodges, Figgis, & Co., с. 179ff, <https://books.google.com/books?id=i87Ikm2u_6sC&pg=PA179>.
• Lemoine, É. (1874), Sur quelques propriétés d’un point remarquable d’un triangle, Association francaise pour l’avancement des sciences, Congrès (002; 1873; Lyon), с. 90–95, <http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201149r/f128.image>.
• Mackay, J. S. (1895), Symmedians of a triangle and their concomitant circles, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society Т. 14: 37–103, DOI 10.1017/S0013091500031758.

• Weisstein, Eric W. Lemoine Hexagon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.