Чевиана

Длину чевианы можно найти по теореме Стюарта — длина чевианы d (см. рисунок) задаётся формулой

${\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

Если чевиана является медианой (то есть делит сторону пополам), длина может быть определена по формуле

${\displaystyle m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})}$

или

${\displaystyle 2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}$

поскольку

${\displaystyle a=2m.}$

Следовательно,

${\displaystyle d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}{2}}.}$

Если чевиана является биссектрисой, её длина удовлетворяет формуле

${\displaystyle \,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),}$

и [3]

${\displaystyle d^{2}+mn=bc}$

откуда

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}}$,

где полупериметр s = (a+b+c)/2.

Сторона a делится в пропорции b:c.

Если чевиана является высотой, а потому перпендикулярна стороне, её длина удовлетворяет формулам

${\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}}$

и

${\displaystyle d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},}$

где полупериметр s = (a+b+c) / 2.