Теорема Микеля

Теорема Микеля — утверждение в планиметрии, связанное с пересечением трёх окружностей, построенных вокруг вершин треугольника. Названа в честь французского математика Огюста Микеля[1]. Эта теорема — один из нескольких результатов, касающийся окружностей в геометрии, полученный Микеле и опубликованных им в Journal de mathématiques pures et appliquées.

Рисунок, показывающий три окружности, проходящие через вершины треугольника ABC и точки A´, B´ и C´, лежащие на смежных сторонах треугольника и пересекающиеся в общей точке M.
Теорема Микеля для различных треугольников

Формулировка

Пусть  — треугольник с произвольными точками , и соответственно на сторонах , и (или на их продолжениях). Опишем три окружности около треугольников , , и Теорема Микеля утверждает, что эти три окружности пересекутся в одной точке , называемой точкой Микеля. Более того, будут равны друг другу три угла (отмечены на рисунке).[2][3]

Частный случай

Если точка Микеля — центр описанной окружности треугольника, а диаметры трех окружностей Микеля равны радиусу описанной окружности треугольника, и каждая из трех окружностей Микеля проходит через общую для них точку — центр описанной окружности, а также через две проекции этого центра на стороны треугольника и через одну из трех вершин, тогда радиусы трех окружностей Микеля одинаковы.

См. также

Примечания
  1. Ostermann & Wanner (2012), p. 94.
  2. Miquel, Auguste (1838), Mémoire de Géométrie, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées Т. 1: 485–487, <http://mathdoc.emath.fr/JMPA/feuilleter.php?id=JMPA_1838_1_3> Архивировано 13 февраля 2013 года.
  3. Wells, 1991, p. 184 — Wells refers to Miquel’s theorem as the pivot theorem

Литература
  • Coxeter, H.S.M. & Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, vol. 19, New Mathematical Library, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2
  • Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson
  • Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
  • Pedoe, Dan (1988), Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
  • Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
  • Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.