Точка Микеля

• Утверждение, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке, называется теоремой Микеля — Штейнера о четырёхстороннике[1].

Пусть дан выпуклый пятиугольник ${\displaystyle ABCDE}$. Продолжим все его пять сторон до тех пор, пока они не пересекутся в пяти точках ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle K}$ (образовав пятиконечную звезду). Опишем пять окружностей около пяти треугольников ${\displaystyle CFD}$, ${\displaystyle DGE}$, ${\displaystyle EHA}$, ${\displaystyle AIB}$ и ${\displaystyle BKC}$. Тогда другие их точки взаимного пересечения (кроме ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$), а именно новые точки: ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$, ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle Q}$ лежат на одной окружности (принадлежат одной окружности)[3] (см. рис.). Обратный результат известен как теорема о пяти кругах.

Теорема Микеля о шести окружностях утверждает то, что если пять окружностей имеют четыре тройные точки пересечения, то оставшиеся четыре точки пересечения лежат на шестой окружности

Пусть на окружности заданы четыре точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$, и четыре окружности попарно пересекаются в этих точках, а также ещё в четырёх других точках ${\displaystyle W}$, ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ и ${\displaystyle Z}$. Тогда последние четыре точки также лежат на общей окружности. Эта теорема известна как «теорема о шести окружностях»[4] (см. рис.).

Эту теорему иногда называют теоремой о четырёх окружностях и приписывают Якобу Штейнеру, хотя единственное известное опубликованное доказательство было дано Микелем[5].

Уэллс ссылается на эту теорему как на «теорему Микеля»[6].

Трёхмерный случай: четыре сферы пересекаются попарно по шести чёрным окружностям, которые, в свою очередь, пересекаются в одной общей точке ${\displaystyle M}$

Есть также трёхмерный аналог, в котором четыре сферы, проходящие через точки тетраэдра и точки на рёбрах тетраэдра, пересекаются в одной общей точке ${\displaystyle M}$. Уэлс, упоминая Микеля, ссылается на эту теорему как на теорему Пиво́.[7]