Лемма о шестой окружности

Сформулированную выше теорему также называют теоремой Микеля о шести окружностях без её привязки к конкретному четырёхугольнику (см. рис. ниже).) Пусть на окружности заданы 4 точки, «А», «B», «C» и «D», и 4 окружности попарно пересекаются в этих точках, а также ещё в 4 других точках W, X, Y и Z. Тогда последние 4 точки лежат на общей окружности. Эта теорема известна, как «теорема о шести окружностях»'[2] (см. рис).

Японская теорема (Japanese theorem)

• ${\displaystyle ABCD}$ — вписанный четырёхугольник. ${\displaystyle A_{1}}$ — основание перпендикуляра, опущенного из вершины ${\displaystyle A}$ на диагональ ${\displaystyle BD}$; аналогично определяются точки ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1}}$. Тогда точки ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}}$ лежат на одной окружности. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.
• ${\displaystyle ABCD}$ — вписанный четырёхугольник. ${\displaystyle A_{1}}$ — центр вписанной окружности треугольника BCD; аналогично определяются точки ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1}}$. Тогда ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$ — прямоугольник. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности. Это следствие иногда называют называют японской теоремой (Japanese theorem)(см. рис.).

• Пусть окружность, вписанная в произвольный треугольник ${\displaystyle ABC}$, касается стороны ${\displaystyle AC}$ в точке ${\displaystyle X}$, а вневписанная окружность касается стороны ${\displaystyle AC}$ в точке ${\displaystyle Y}$. Тогда точки ${\displaystyle A_{1},Y,C_{1},X}$ лежат на одной окружности. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.
• В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle A_{1},C_{1}}$ — основания перпендикуляров, опущенных на биссектрису угла ${\displaystyle B}$ из вершин ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ соответственно; ${\displaystyle BB_{1}}$ — высота, ${\displaystyle D_{1}}$ — середина стороны ${\displaystyle AC}$. Тогда точки ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}}$ и ${\displaystyle D_{1}}$ лежат на одной окружности. Более того, центр окружности, проходящей через точки ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}}$, лежит на окружности девяти точек треугольника ABC. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.

Теорема Микеля для пятиугольника

Эту теорему иногда называют теоремой о четырёх окружностях и приписывают Якобу Штейнеру, хотя единственное известное опубликованное доказательство было дано Микелем[3].

Уэллс ссылается на эту теорему как на «теорему Микеля»[4]

Интересно то, что дальнейшее обобщение этой теоремы до Леммы о седьмой окружности невозможно. На это указывает следующий контрпример в виде рисунка справа, взятого из раздела Точка Микеля (см. параграф «Теорема Микеля для пятиугольника (для пятиконечной звезды)»). На это указывает следующее очевидное утверждение:

«Если 5 окружностей (на рисунке они чёрного цвета) имеют 5 точек их попарного пересечения M, N, P, R, Q , лежащих на одной (синей) окружности (всего 6 окружностей), то из этого, в общем случае, вовсе не следует то, что 5 других (не упомянутых выше) точек их попарного пересечения A, B, C, D, E также будут лежать на одной окружности (на 7-ой окружности)).» На рисунке это достаточно очевидно, так как пятиугольник ABCDE явно не вписан в окружность (7-ую по счету).

• Теорема о шести окружностях
• Теорема Микеля о шести окружностях
• Теорема о пяти кругах
• Теорема о вписанных окружностях