Тангенциальный треугольник

Тангенциальный треугольник (от лат. tangens — касательный) — конструкция, дающая новый треугольник по данному треугольнику.

Тангенциальный треугольник A_tB_tC_t и ортотреугольник A_hB_hC_h для треугольника ABC.

Если вокруг данного треугольника $\triangle ABC$ описать окружность, то треугольник $\triangle A'B'C'$ образованный тремя прямыми касательными к окружости проведёнными через вешины $A$ , $B$ и $C$ называется тангенциальным.

Координаты вершин

Трилинейные координаты вершин тангенциального треугольника

A'=-a:b:c

B'=a:-b:c

C'=a:b:-c

Свойства

Стороны тангенциального треугольника $\triangle A'B'C'$ антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
Вписанная в тангенциальный треугольник $\triangle A'B'C'$ окружность является описанной окружностью по отношению к данному треугольнику $\triangle ABC$ .
И обратно: центр вписанной в тангенциальный треугольник $\triangle A'B'C'$ окружности совпадает с центром окружности, описанной около данного треугольника $\triangle ABC$ .
Связь между углами тангенциального треугольника и данного треугольника ΔABC
$\ A'=\pi -2A;$ $\ B'=\pi -2B;$ $\ C'=\pi -2C.$
Для данного треугольника $\triangle ABC$ его тангенциальный треугольник $\triangle A'B'C'$ и ортотреугольник $\triangle A''B''C''$ подобны.
Площадь данного треугольника $\triangle ABC$ равна среднему геометрическому между площадями тангенциального треугольника и ортотреугольника.
Площадь тангенциального треугольника равна[1]:
$S_{tan}={\frac {S(2abc)^{2}}{(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})}}$

где

S

— площадь треугольника

\triangle ABC

;

a,b,c

— его соответствующие стороны. Или[2]

S_{tan}={\frac {1}{2}}|S\sec A\sec B\sec C|

Стороны тангенциального треугольника равны[2]
$a'={\frac {2a^{3}bc}{|a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}|}}$

$b'={\frac {2ab^{3}c}{|b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}|}}$

$c'={\frac {2abc^{3}}{|c^{4}-(b^{2}-a^{2})^{2}|}}$
Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).

Замечательные точки

Следующая таблица даёт соответствие замечательных точек тангенциального треугольника с центрами исходного треугольника. X_n означает индекс замечательной точки в списке Кимберлинга[3].

X_n	Центр тангенциального треугольника	X_n	Центр исходного треугольника
X₂	центроид треугольника	X₁₅₄	X₃ чева-сопряженная точка к X₆
X₃	центр описанной окружности	X₂₆	центр описанной окружности тангенциального треугольника
X₄	ортоцентр	X₁₅₅	собственный центр ортотреугольника
X₅	центр девяти точек	X₁₅₆	X₅ тангенциального треугольника
X₆	точка пересечения симедиан	X₁₅₇	X₆ тангенциального треугольника
X₃₀	бесконечная точка прямой Эйлера	X₁₁₅₄	изогональное сопряжение точки X₁₁₄₁
X₅₂₃	изогональное сопряжение точки X₁₁₀	X₁₅₁₀	кросс-разность точек Наполеона

См. также

Примечания

Формулу можно вывести из предыдущего свойства и площади ортотреугольника
Weisstein, Eric W. Tangential Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Энциклопедия центров треугольника

Литература

Зетель С. И. . Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 38—39. — ISBN 5-94057-170-0.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Формулу можно вывести из предыдущего свойства и площади ортотреугольника

[MW-2] Weisstein, Eric W. Tangential Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[3] Энциклопедия центров треугольника