Теорема Паскаля

Если шестиугольник вписан в окружность (или в любое другое коническое сечение — эллипс, параболу, гиперболу или даже в пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой.

Впервые сформулирована и доказана Блезом Паскалем в возрасте 16 лет как обобщение теоремы Паппа. Эту теорему Паскаль взял за основание своего трактата о конических сечениях. Сам трактат пропал и известно лишь его краткое содержание по письму Лейбница, который во время своего пребывания в Париже имел его в своих руках, и краткое изложение основных теорем этого трактата, составленное самим Паскалем (Опыт о конических сечениях). Сам Паскаль считал пару прямых в теореме Паппа коническим сечением, а теорему Паппа частным случаем своей теоремы.

• Одно из доказательств использует счёт в двойных отношениях.
• Возможное доказательство основано на последовательном применении теоремы Менелая.
• Проективным преобразованием можно перевести описанную конику в окружность, при этом условие теоремы сохранится. Для окружности теорема может быть доказана из существования изогонального сопряжения.
  • В случае выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, можно осуществить проективное преобразование, оставляющее окружность на месте, а прямую, проходящую через точки пересечения двух пар противоположных сторон увести на бесконечность. В этом случае утверждение теоремы станет очевидным.
• Возможное доказательство может быть также основано на теореме о 9 точках на кубике.

Позволяет строить коническое сечение по пяти точкам, как геометрическое место точек соответственных шестой точке шестиугольника в конфигурации.

• Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.

• Если главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке, то соответствующая прямая, возникающая в теореме Паскаля, является полярой этой точки относительно коники, в которую вписан шестиугольник.
  • В общем случае, прямая из теоремы Паскаля для шестиугольника, вписанного в конику ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, является полярой относительно ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ точки из теоремы Брианшона для шестиугольника, образованного касательными к ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ в вершинах исходного шестиугольника.

Вырожденные случаи теоремы Паскаля

• Теорема верна и в том случае, когда две или даже три соседних вершины совпадают (но не более чем по две в одной точке). В этом случае в качестве прямой, проходящей через две совпадающие вершины, принимается касательная к линии в этой точке. В частности:
  • Касательная к линии 2-го порядка, проведённая в одной из вершин вписанного пятиугольника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных пар несмежных сторон этого пятиугольника.
  • Если ABCD ― четырёхугольник, вписанный в линию 2-го порядка, то точки пересечения касательных в вершинах С и D соответственно со сторонами AD и ВС и точка пересечения прямых АВ и CD лежат на одной прямой.
  • Если ABCD ― четырёхугольник, вписанный в линию 2-го порядка, то точки пересечения касательных в вершинах С и D, прямых AC и BD, а также прямых AD и BC лежат на одной прямой.
  • Точки пересечения касательных в вершинах треугольника, вписанного в линию 2-го порядка, с противоположными сторонами лежат на одной прямой.
    • Эта прямая называется прямой Паскаля данного треугольника.

• В 1847 появилось обобщение теоремы Паскаля, сделанное Мёбиусом, которое звучит так:
  • Если многоугольник с ${\displaystyle 4n+2}$ сторонами вписан в коническое сечение и противоположные его стороны продолжены таким образом, чтобы пересечься в ${\displaystyle 2n+1}$ точке, то если ${\displaystyle 2n}$ этих точек лежат на прямой, последняя точка будет лежать на той же прямой.

• Теорема Киркмана: Пусть точки ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ лежат на одном коническом сечении. Тогда прямые Паскаля шестиугольников ${\displaystyle ABFDCE}$, ${\displaystyle AEFBDC}$ и ${\displaystyle ABDFEC}$ пересекаются в одной точке.

• Теорема о 9 точках на кубике

• Котельников К. Шестиугольник Паскаля // В.О.Ф.Э.М.. — 1888. — № 50. — С. 34—35.
• Паскаль. Опыт о конических сечениях с приложением письма Лейбница к Э. Перье. Перевод и комментарии Г. И. Игнациуса. // Историко-математические исследования. Выпуск XIV.
• Фрейверт Д. М. Новая тема в евклидовой геометрии на плоскости: теория «точек Паскаля», формируемых с помощью окружности на сторонах четырёхугольника. — 2019. — С. 37—42.
• Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 2, § 16-19. М., 1883.
• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава IV, § 8.4.
• Живые чертежи (на Java)
  • Pascal’s theorem на Cut the knot
  • Pascal’s theorem
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 76-78. — ISBN 5-94057-170-0.
• D. Fraivert. The theory of a convex quadrilateral and a circle that forms Pascal points - the properties of Pascal points on the sides of a convex quadrilateral // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. — 2016. — Т. 40. — P. 1–34. — doi:10.18642/jmsaa_7100121666.
• D. Fraivert. Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals // Forum Geometricorum. — 2017. — Vol. 17. — P. 509–526.