Жёсткость Мостова
Жёсткость Мостова утверждает, что геометрия гиперболического многообразия конечного объёма в размерностях, начиная с трёх, полностью определяется его фундаментальной группой.
История
Для замкнутых многообразий теорема была доказана Джорджем Мостовым в 1968 году. Обобщена на многообразия конечного объёма размерности Марденом и Прасадом (англ. Prasad). Громов дал другое доказательство — основанное на симплициальном объёме.
До этого Вейль доказал тесно связаные утверждения. В частности то, что кокомпактные действия дискретных групп изометрий гиперболического пространства размерности не менее 3 не допускают нетривиальных деформаций.
Формулировки
Геометрическая формулировка
- Пусть M и N — полные гиперболические n-мерные многообразия конечного объёма с n≥3. Тогда любой изоморфизм f: π1(M) → π1(N) индуцируется изометрией M → N.
Здесь π1(M) обозначает фундаментальную группу многообразия M.
Алгебраическая формулировка
- Пусть Γ и Δ — дискретные подгруппы группы G изометрий n-мерного гиперболического пространства H с n≥3, чьи факторпространства H/Γ и H/Δ имеют конечные объёмы. Тогда изоморфность Γ и Δ как дискретных групп влечёт их сопряжённость в G.
Приложения
- Группа изометрий конечных объёмов гиперболических n-многообразия M (для n≥3) конечна и изоморфна группе внешних автоморфизмов π1(M).
- Теорема об упаковке кругов
Ссылки
- Gromov, Michael (1981), Hyperbolic manifolds (according to Thurston and Jørgensen), Bourbaki Seminar, Vol. 1979/80, vol. 842, Lecture Notes in Math., Berlin, New York: Springer-Verlag, с. 40–53, ISBN 978-3-540-10292-2, doi:10.1007/BFb0089927
- Marden, Albert (1974), The geometry of finitely generated kleinian groups, Annals of Mathematics. Second Series Т. 99: 383–462, ISSN 0003-486X
- Mostow, G. D. (1968), Quasi-conformal mappings in n-space and the rigidity of the hyperbolic space forms, Publ. Math. IHES Т. 34: 53–104, <http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1968__34__53_0>
- Mostow, G. D. (1973), Strong rigidity of locally symmetric spaces, vol. 78, Annals of mathematics studies, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08136-6, <https://books.google.com/books?id=xT0SFmrFrWoC>
- Prasad, Gopal (1973), Strong rigidity of Q-rank 1 lattices, Inventiones Mathematicae Т. 21: 255–286, ISSN 0020-9910, DOI 10.1007/BF01418789
- Spatzier, R. J. (1995), Harmonic Analysis in Rigidity Theory, in Petersen, Karl E. & Salama, Ibrahim A., Ergodic Theory and its Connection with Harmonic Analysis, Proceedings of the 1993 Alexandria Conference, Cambridge University Press, с. 153–205, ISBN 0-521-45999-0. (Provides a survey of a large variety of rigidity theorems, including those concerning Lie groups, algebraic groups and dynamics of flows. Includes 230 references.)
- Thurston, William (1978–1981), The geometry and topology of 3-manifolds, Princeton lecture notes, <http://www.msri.org/publications/books/gt3m/>. (Gives two proofs: one similar to Mostow’s original proof, and another based on the Gromov norm)
- Weil, André (1960), On discrete subgroups of Lie groups, Annals of Mathematics. Second Series Т. 72: 369–384, ISSN 0003-486X
- Weil, André (1962), On discrete subgroups of Lie groups. II, Annals of Mathematics. Second Series Т. 75: 578–602, ISSN 0003-486X
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.