Додекаэдральные соты порядка 4

В гиперболическом трёхмерном пространстве додекаэдральные соты порядка 4 — это одна из четырёх компактных правильных заполняющих пространство мозаик (или сот). Имея символ Шлефли {5,3,4}, соты имеют четыре додекаэдра вокруг каждого ребра и 8 додекаэдров вокруг каждой вершины в октаэдральном расположении. Вершины сот строятся на 3 ортогональных осях. Двойственным телом сот являются кубические соты порядка 5.

Додекаэдральные соты порядка 4
ТипГиперболические правильные соты
Символ Шлефли{5,3,4}
{5,31,1}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
↔
Ячейки{5,3}
ГраниПятиугольники {5}
Рёберная фигураквадраты {4}
Вершинная фигура
Октаэдр
Двойственные сотыКубические соты порядка 5
Группа КоксетераBH3, [5,3,4]
DH3, [5,31,1]
СвойстваRegular, квазиправильные соты

Геометрические соты — это таким образом заполняющие пространство многогранные ячейки, что не остаётся свободных промежутков. Соты являются примером более общего математического понятия замощения в пространствах любой размерности.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве подобно выпуклым однородным сотам. Они могут быть построены также в неевклидовых пространствах, такие как гиперболические однородные соты. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы образовать однородные соты на сферическом пространстве.

Описание

Двугранный угол додекаэдра равен ~116.6°, так что невозможно разместить 4 додекаэдра на ребре в евклидовом 3-мерном пространстве. Однако в гиперболическом пространстве для додекаэдра можно подобрать размер так, что его двугранные углы уменьшаются до 90 градусов, а тогда четыре додекаэдра точно заполняют пространство вокруг каждого ребра.

Симметрия

Соты строятся с половинной симметрией, {5,31,1}, с двумя типами (цветами) шестиугольных мозаик в построении Витхоффа. ↔ .

Рисунки
Соты содержат двумерную гиперболическую пятиугольную мозаику порядка 4, {5,4}


Модель Бельтрами — Клейна

Связанные многогранники и соты

Существует четыре вида правильных компактных сот в гиперболическом 3D-пространстве:

Четыре вида правильных компактных сот в H3

{5,3,4}
{4,3,5}
{3,5,3}
{5,3,5}

Существует пятнадцать видов однородных сот в семействе [5,3,4] групп Коксетера, включая эти правильные формы.

Семейство сот [5,3,4]
{5,3,4}
 r{5,3,4}
 t{5,3,4}
 rr{5,3,4}
 t0,3{5,3,4}
 tr{5,3,4}
 t0,1,3{5,3,4}
 t0,1,2,3{5,3,4}
{4,3,5}
 r{4,3,5}
 t{4,3,5}
 rr{4,3,5}
 2t{4,3,5}
 tr{4,3,5}
 t0,1,3{4,3,5}
 t0,1,2,3{4,3,5}

Существует одиннадцать видов однородных сот в разветвлённом семействе [5,31,1] групп Коксетера, включая соты в чередующейся форме. Это построение может быть представлено чередованием (как на шахматной доске) с двумя цветами додекаэдральных ячеек.

Эти соты связаны также с 16-ячейником, кубическими сотами и шестиугольными мозаичными сотами порядка 4, все имеют октаэдральные вершинные фигуры:

Эти соты являются частью последовательности четырёхмерных многогранников и сот с додекаэдральными ячейками:

{5,3,p}
Пространство S3 H3
Вид Конечные Компактные Паракомпактные Неокомпактные
Название {5,3,3}
 {5,3,4}

 {5,3,5}
 {5,3,6}

 {5,3,7}
 {5,3,8}

 ... {5,3,∞}

Рисунок
Vertex
figure
{3,3}
{3,4}
{3,5}
{3,6}
{3,7}
{3,8}
{3,∞}

Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4
Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4
ТипОднородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефлиr{5,3,4}
r{5,31,1}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
↔
Ячейкиr{5,3}
{3,4}
ГраниТреугольники {3}
пятиугольники {5}
Вершинная фигура
куб
Группа КоксетераBH3, [5,3,4]
DH3, [5,31,1]
СвойстваВершинно транзитивные, рёберно транзитивные

Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4', , имеют чередующиеся октаэдральные и икосододекаэдральные ячейки с кубом в качестве вершинной фигуры.

Соты можно рассматривать как аналог двумерной гиперболической четырёхпятиугольной мозаики, r{5,4}

Связанные соты

Существует четыре вида полноусечённых компактных правильных сот:

Четыре полноусечённых правильных компактных сот в H3
Рисунок
Обозначение r{5,3,4}
 r{4,3,5}
 r{3,5,3}
 r{5,3,5}
Вершинная
фигура

Усечённые додекаэдральные соты порядка 4
Усечённые додекаэдральные соты порядка 4
ТипОднородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефлиt{5,3,4}
t{5,31,1}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
↔
Ячейкиt{5,3}
{3,4}
ГраниТреугольники {3}
десятиугольники {10}
Вершинная фигура
Квадратная пирамида
Группа КоксетераBH3, [5,3,4]
DH3, [5,31,1]
СвойстваВершинно транзитивные

Усечённые додекаэдральные соты порядка 4, , имеют октаэдральные и усечённые додекаэдральные ячейки с кубом в качестве вершинной фигуры.

Соты можно рассматривать как аналог двумерных гиперболических усечённых пятиугольных мозаик порядка 4 t{5,4} с гранями в виде усечённых пятиугольников и квадратов:

Связанные соты
Четыре вида усечённых правильных правильных компактных сот в H3
Рисунок
Обозначение t{5,3,4}
 t{4,3,5}
 t{3,5,3}
 t{5,3,5}
Вершинная
фигура

Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4
Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4
Биусечённые кубические соты порядка 5
ТипОднородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефли2t{5,3,4}
2t{5,31,1}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
↔
Ячейкиt{3,5}
t{3,4}
ГраниТреугольники {3}
квадраты {4}
шестиугольники {6}
Вершинная фигура
Тетраэдр
Группа КоксетераBH3, [5,3,4]
DH3, [5,31,1]
СвойстваВершинно транзитивные

Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4 или биусечённые кубические соты порядка 5, , имеют усечённые октаэдры и усечённые икосаэдры в качестве ячеек и тетраэдр в качестве вершинной фигуры.

Связанные соты
Три вида биусечённых правильных компактных сот в H3
Рисунок
Обозначение 2t{4,3,5}
 2t{3,5,3}
 2t{5,3,5}
Вершинная
фигура

Скошенные додекаэдральные соты порядка 4
Скошенные додекаэдральные соты порядка 4
ТипОднородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефлиrr{5,3,4}
rr{5,31,1}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
↔
Ячейкиrr{3,5}
r{3,4}
{}x{4} куб
ГраниТреугольники {3}
квадраты {4}
пятиугольники {5}
Вершинная фигура
Треугольная призма
Группа КоксетераBH3, [5,3,4]
DH3, [5,31,1]
СвойстваВершинно транзитивные

Скошенные додекаэдральные соты порядка 4,, имеют ромбоикосододекаэдральные, кубооктаэдральные и кубические ячейки и треугольную призму в качестве вершинной фигуры.

Связанные соты

Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4
Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4
ТипОднородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефлиtr{5,3,4}
tr{5,31,1}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
↔
Ячейкиtr{3,5}
t{3,4}
{}x{4} Кубы
Граниквадраты {4}
шестиугольники {6}
десятиугольники {10}
Вершинная фигура
зеркальный сфеноид
Группа КоксетераBH3, [5,3,4]
DH3, [5,31,1]
СвойстваВершинно транзитивные

Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 являются однородными сотами с диаграммой Коксетера — Дынкина и имеющие зеркальный сфеноид в качестве вершинной фигуры.

Связанные соты
Четыре вида скошено-усечённых правильных компактных сот в H3
Рисунок
Обозначение tr{5,3,4}
 tr{4,3,5}
 tr{3,5,3}
 tr{5,3,5}
Вершинная
фигура

Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4
Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4
ТипОднородные соты в гиперболическом пространстве
Символ Шлефлиt0,1,3{5,3,4}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина
Ячейкиt{5,3}
rr{3,4}
{}x{10}
{}x{4}
ГраниТреугольники {3}
квадраты {4}
десятиугольники {10}
Вершинная фигура
quad пирамида
Группа КоксетераBH3, [5,3,4]
СвойстваВершинно транзитивные

Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 — это однородные соты с диаграммой Коксетера — Дынкина и четырёхугольной пирамидой в качестве вершинной фигуры.

Связанные соты

См. также

Примечания

    Литература
    • Coxeter. Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs // Regular Polytopes. — 3rd. ed.. — Dover Publications, 1973. — С. 294–296. — ISBN 0-486-61480-8.
    • Coxeter. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — С. 212-213. — ISBN 0-486-40919-8.
    • Jeffrey R. Weeks. Chapter 16-17: Geometries on Three-manifolds I,II // The Shape of Space. — 2nd. — ISBN 0-8247-0709-5.
    • N.W. Johnson. Uniform Polytopes. — 1991. — (Manuscript).
      • N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).
      • N.W. Johnson. Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups // Geometries and Transformations. — 2015.
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.