Икосододекаэдр

Икосододекаэдр с длиной ребра ${\displaystyle 2}$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• ${\displaystyle \left(0;\;0;\;\pm 2\Phi \right),}$
• ${\displaystyle \left(\pm 1;\;\pm \Phi$ ;\;\pm \Phi ^{2}\right),}

где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения.

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Если икосододекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$, его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=\left(5{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 29{,}3059828a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left(45+17{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 13{,}8355259a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a=\Phi a\approx 1{,}6180340a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 1{,}5388418a.}$

Вписать в икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри икосододекаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{5}={\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{5}}}\;a\approx 1{,}3763819a.}$

Расстояние от центра многогранника до центра любой треугольной грани превосходит ${\displaystyle r_{5}}$ и равно

${\displaystyle r_{3}={\sqrt {\frac {7+3{\sqrt {5}}}{6}}}\;a\approx 1{,}5115226a.}$

• Weisstein, Eric W. Икосододекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447. — 568 с. — 20 000 экз.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.