Икосододекаэдр
Икосододека́эдр[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных пятиугольников.
Икосододекаэдр | |||
---|---|---|---|
![]() (вращающаяся модель, 3D-модель) | |||
Тип | архимедово тело | ||
Свойства | выпуклый, изогональный, квазиправильный | ||
Комбинаторика | |||
Элементы |
|
||
Грани |
20 треугольников 12 пятиугольников |
||
Конфигурация вершины | 3.5.3.5 | ||
Двойственный многогранник | ромботриаконтаэдр | ||
Классификация | |||
Обозначения | aD | ||
Символ Шлефли | r{3,5} | ||
Группа симметрии | Ih (икосаэдрическая) | ||
![]() |
В каждой из его 30 одинаковых вершин сходятся две пятиугольных грани и две треугольных. Телесный угол при вершине равен
Икосододекаэдр имеет 60 рёбер равной длины. Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен
Икосододекаэдр можно получить из икосаэдра, «срезав» с него 12 правильных пятиугольных пирамид; либо из додекаэдра, «срезав» с него 20 правильных треугольных пирамид; либо как пересечение имеющих общий центр икосаэдра и додекаэдра.

В координатах
Икосододекаэдр с длиной ребра можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел
где — отношение золотого сечения.
Начало координат будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.
Метрические характеристики
Если икосододекаэдр имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как
Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —
Вписать в икосододекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри икосододекаэдра с ребром (она будет касаться только всех пятиугольных граней в их центрах), равен
Расстояние от центра многогранника до центра любой треугольной грани превосходит и равно
Примечания
- Веннинджер, 1974, с. 20, 36.
- Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
- Люстерник, 1956, с. 183.
Литература
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
- Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382—447. — 568 с. — 20 000 экз.
- Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.