Додекаэдр Билинского

Додекаэдр Билинского[1] — многогранник (зоноэдр), составленный из 12 одинаковых золотых ромбов.

Додекаэдр Билинского

(вращающаяся модель)
Свойства выпуклый, зоноэдр
Комбинаторика
Элементы
12 граней
24 ребра
14 вершин		 Χ = 2
Грани 12 ромбов
Конфигурация вершины 4+4(4.4.4)
4+2(4.4.4.4)
Классификация
Группа симметрии D2h
 Медиафайлы на Викискладе

Топологически изоморфен ромбододекаэдру, но, в отличие от него, не является изоэдральным (хотя всего его грани также конгруэнтны) и имеет другую группу симметрии.

Грани додекаэдра Билинского — ромбы с отношением диагоналей, равным золотому сечению они несколько более вытянуты, чем грани ромбододекаэдра, представляющие собой ромбы с отношением диагоналей

Имеет 14 вершин. В 2 вершинах сходятся четыре грани своими острыми углами; в 4 вершинах сходятся три грани тупыми углами; в 4 вершинах сходятся одна грань острым углом и две тупыми; в 4 вершинах сходятся три грани острыми углами и одна тупым.

У додекаэдра Билинского 24 ребра равной длины. При 12 рёбрах (примыкающих к вершинам, отмеченным на рисунке красным) двугранные углы равны при 8 рёбрах (между зелёной и синей вершинами) — при 4 рёбрах (между чёрной и зелёной вершинами) —

В координатах
Проекции на координатные плоскости

Додекаэдр Билинского можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты

При этом центр симметрии многогранника будет совпадать с началом координат, три оси симметрии — с осями Ox, Oy и Oz, а три плоскости симметрии — с плоскостями xOy, xOz и yOz.

Метрические характеристики

Если додекаэдр Билинского имеет ребро длины , его площадь поверхности и объём выражаются как

История

Впервые данный многогранник встречается под названием «додекаромб» в 1752 году на иллюстрации в книге английского математика Джона Лоджа Коули[2][3].

Заново найден в 1960 году хорватским математиком Станко Билинским[4], который назвал его «ромбическим додекаэдром второго рода»[5]. Открытие Билинского заполнило остававшийся незамеченным 75 лет пробел в классификации выпуклых многогранников с конгруэнтными ромбическими гранями, описанной Евграфом Фёдоровым[6].

Гарольд Коксетер в статье 1962 года[7] ошибочно утверждал, что додекаэдр Билинского может быть получен аффинным преобразованием ромбододекаэдра. Это утверждение ложно[6].

Доказательство
Рассмотрим на иллюстрациях выше два отрезка: диагональ многогранника, соединяющую две синих вершины и диагональ грани, соединяющую красную вершину с зелёной
В додекаэдре Билинского эти отрезки не параллельны, в ромбододекаэдре же соответствующие им отрезки — параллельны. А поскольку аффинное преобразование сохраняет параллельность отрезков, получить один многогранник из другого при помощи аффинных растяжений и сжатий нельзя.

Примечания
  1. У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — М.: Мир, 1986. — Стр. 157.
  2. John Lodge Cowley. Geometry Made Easy; Or, a New and Methodical Explanation of the Elements of Geometry. — London, 1752. — Plate 5, Fig. 16.
  3. Hart, George W. (2000), A color-matching dissection of the rhombic enneacontahedron, Symmetry: Culture and Science Т. 11 (1–4): 183–199, <http://www.georgehart.com/dissect-re/dissect-re.htm>.
  4. Bilinski, S. (1960), Über die Rhombenisoeder, Glasnik Mat. Fiz. Astr. Т. 15: 251–263.
  5. Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra: One of the most charming chapters of geometry, Cambridge: Cambridge University Press, с. 156, ISBN 0-521-55432-2, <https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA156>.
  6. Grünbaum, Branko (2010), The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra, The Mathematical Intelligencer Т. 32 (4): 5–15, DOI 10.1007/s00283-010-9138-7.
  7. Coxeter, H. S. M. (1962), The classification of zonohedra by means of projective diagrams, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées Т. 41: 137–156.

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.