Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр

Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр
Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр
	; (3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый
Комбинаторика
52 грани; 120 рёбер; 70 вершин	Χ = 2
Грани	30 треугольников; 10 квадратов; 2 пятиугольника; 10 десятиугольников
Конфигурация вершины	2x10+20(3.102) ; 10(3.4.5.4) ; 20(3.4.3.10)
	Развёртка
Классификация
Обозначения	J69, М6+М12+М6
Группа симметрии	D5d

Два́жды противополо́жно наращённый усечённый додека́эдр[1] — один из многогранников Джонсона (J₆₉, по Залгаллеру — М₆+М₁₂+М₆).

Составлен из 52 граней: 30 правильных треугольников, 10 квадратов, 2 правильных пятиугольников и 10 правильных десятиугольников. Каждая десятиугольная грань окружена четырьмя десятиугольными и шестью треугольными; каждая пятиугольная грань окружена пятью квадратными; каждая квадратная грань окружена пятиугольной и тремя треугольными; среди треугольных 10 граней окружены тремя десятиугольными, 10 граней — двумя десятиугольными и квадратной, остальные 10 — десятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 20 рёбер располагаются между двумя десятиугольными гранями, 60 рёбер — между десятиугольной и треугольной, 10 рёбер — между пятиугольной и квадратной, остальные 30 — между квадратной и треугольной.

У дважды противоположно наращённого усечённого додекаэдра 70 вершин. В 40 вершинах сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная; в 20 вершинах сходятся десятиугольная, квадратная и две треугольных грани; в 10 вершинах сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр можно получить из трёх многогранников — усечённого додекаэдра и двух пятискатных куполов (J₅), — приложив куполы к двум противоположным десятиугольным граням усечённого додекаэдра.

Метрические характеристики

Если дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр имеет ребро длины $a$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

S={\frac {1}{2}}\left(20+15{\sqrt {3}}+\left(50+{\sqrt {5}}\right){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 103{,}3734243a^{2},

V={\frac {1}{12}}\left(515+251{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 89{,}6877552a^{3}.

Примечания

Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 23.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Дважды противоположно наращённый усечённый додекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями / Зап. научн. сем. ЛОМИ, 1967. — Т. 2. — Cтр. 23.