Равногранный тетраэдр

Равногранный тетраэдр — определённый тип тетраэдра в евклидовом пространстве.

По-видимому, впервые равногранные тетраэдры подробно изучались Адольфом Шмидтом в 1884 году[1] и Давидом Бессо в 1886 году[2]. В 1935 году свойства равногранных тетраэдров систематически изложены в книге[3].

Определение

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани — равные между собой треугольники.

Свойства

Существует ряд эквивалентных определений равногранного тетраэдра:

Равногранный тетраэдр с описанным прямоугольным параллелепипедом.
  1. описанный около него параллелепипед — прямоугольный;
  2. его развёртка, полученная при разрезании его по трём сходящимся в одной вершине рёбрам, — треугольник (этот треугольник должен быть остроугольным, потому что тупоугольный или прямоугольный при сгибании по средним линиям не сложится в тетраэдр);
  3. его развёртка, полученная при разрезании ломаной из трёх звеньев, — параллелограм;
  4. у него имеется три оси симметрии — это общие перпендикуляры, проведённые к противоположным рёбрам, они же бимедианы;
  5. все его трёхгранные углы равны
  6. сумма углов треугольников при каждой вершине равна );
  7. сумма косинусов двугранных углов при каждой вершине равна 1;
  8. все его медианы равны;
  9. все его высоты равны;
  10. центры вписанной и описанной сфер и центроид совпадают;
  11. радиусы окружностей описанных около граней равны;
  12. периметры граней равны;
  13. площади граней равны;
  14. противоположные двугранные углы равны;
  15. противоположные рёбра равны;
  16. центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере;
  17. среди выпуклых многогранников, равногранные тетраэдры и только они допускают произвольно длинные замкнутые геодезические без самопересечений на своих поверхностях;[4] (То же свойство выделяет равногранные тетраэдры среди всех замкнутых выпуклых поверхностей.[5])
  18. тетраэдр является равногранным если и только если выполняется равенство . Здесь , , , и — объём тетраэдра .[6]

Примечания

  1. Ad. Schmidt, Das gleichseitige Tetraeder, Schlömilch Z. XXIX, 321—343 (1884).
  2. D. Besso, Sul tetraedro a facce eguali, Besso Per. I. 1-12 (1886).
  3. P. Couderc, A. Balliccioni. Premier livre du tétraèdre. A l’usage des élèves de première, de mathématiques, des candidats aux grandes écoles et à l’agrégation. Paris, Gauthier-Villars (1935). 204 p.
  4. В. Ю. Протасов. О числе замкнутых геодезических на многограннике // УМН. — 2008. Т. 63, № 5(383). С. 197–198.
  5. Akopyan, Arseniy; Petrunin, Anton; Long Geodesics on Convex Surfaces. Math. Intelligencer 40 (2018), no. 3, 26—31, arXiv:1702.05172
  6. M. Mazur. An inequality for the volume of a tetrahedron (англ.) // The American Mathematical Monthly. — 2018. Т. 125, № 3. С. 273—275. ISSN 0002-9890.

Литература

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.