Трапецеромбический додекаэдр

Если «средние» рёбра трапецеромбического додекаэдра имеют длину ${\displaystyle a}$, то его «длинные» рёбра имеют длину ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\,a,}$ «короткие» — длину ${\displaystyle {\frac {2}{3}}\,a.}$

Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как

${\displaystyle S=8{\sqrt {2}}\;a^{2}\approx 11{,}3137085a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {16{\sqrt {3}}}{9}}\;a^{3}\approx 3{,}0792014a^{3}.}$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {6}}{3}}\;a\approx 0{,}8164966a,}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

${\displaystyle \rho ={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\;a\approx 0{,}9428090a.}$

Описать около трапецеромбического додекаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

Периметр любой грани будет равен

${\displaystyle P_{\Gamma \mathrm {P} }=4a=4{,}0000000a,}$

радиус окружности, вписанной в любую грань —

${\displaystyle r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2}}}={\frac {\sqrt {2}}{3}}\;a\approx 0{,}4714045a,}$

площадь любой грани —

${\displaystyle S_{\Gamma \mathrm {P} }={\frac {P_{\Gamma \mathrm {P} }}{2}}\,r_{\Gamma \mathrm {P} }={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\;a^{2}\approx 0{,}9428090a^{2}.}$

С помощью трапецеромбических додекаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений.

• 
  Фрагмент заполнения
• 
  Рёберная модель

Данное заполнение является диаграммой Вороного для центров одинаковых сфер в шестиугольной плотной упаковке (ГП).

• Weisstein, Eric W. Трапецеромбический додекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.