Плотная упаковка равных сфер

Взяв за точку отсчёта один из плотноупакованных слоёв шаров, можно разделить остальные на различные типы в зависимости от того, как они расположены относительного первого слоя в смысле горизонтального сдвига. Таких типов три, и их принято обозначать A, B и C.

Относительно уровня с шаром A (см. рисунок слева «Сравнение ГЦК и ГП (ГПУ) упаковок») возможны различные положения шаров B и C. Любая последовательность позиций A, B и C по слоям без повторения в соседних слоях возможна и даёт упаковку той же плотности.

Наиболее правильные упаковки:

• ГЦК = ABCABCA (уровни совпадают через два);
• ГП (ГПУ) = ABABABA (уровни совпадают через один).

Тем не менее, та же самая плотность упаковки может быть достигнута альтернативной послойной укладкой тех же плотных упаковок сфер в плоскости, включая структуры, которые апериодичны в направлении слоёв укладки. Имеется несчётное число нерегулярных расположений плоскостей (например, ABCACBABABAC…), которые иногда называются «упаковками Барлоу», по имени кристаллографа Уильяма Барлоу[6].

В плотной упаковке расстояние между центрами сфер в плоскости плотноупакованного слоя равно диаметру сферы. Расстояние между центрами сфер в проекции на ось, перпендикулярную плотноупакованному слою, равно

${\displaystyle {\text{pitch}}_{Z}={\sqrt {6}}\cdot {d \over 3}\approx 0,81649658d,}$

где d — диаметр сферы. Это следует из тетраэдрального расположения сфер в плотной упаковке.

Как в ГЦК, так и в ГП (ГПУ) укладках каждая сфера имеет двенадцать соседей (иными словами, координационное число для любой сферы в них равно 12). Вокруг сферы существуют пустые области, окружённые шестью сферами (октаэдрические), и меньшие пустые области, окружённые четырьмя сферами (тетраэдрические). Расстояния до центров этих пустых областей от центров окружающих сфер равно ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}$ для тетраэдрических и √2 для октаэдрических[Комм 1] пространств, если радиус сферы равен 1. ГЦК упаковка получается, если в очередном слое помещать шары над октаэдрическими пустотами, ГП (ГПУ) — над некоторыми тетраэдрическими.

Анимация построения решётки плотной упаковки. Замечание: Если шары третьего уровня (уровень не показан) находится прямо над шарами первого уровня, то получим ГП(ГПУ)-решётку. Если шары третьего уровня расположены над промежутками между шарами первого уровня, то получим ГЦК-решётку.

Для образования A-B-A-B-… шестиугольной плотной упаковки сфер координаты точек решётки будут центрами шаров упаковки. Предположим, что целью является заполнение коробки сферами согласно схеме ГП(ГПУ). Коробка располагается в системе координат x-y-z.

Сначала образуем ряд сфер; их центры будут лежать на одной прямой. Значения координат x будут меняться на величину 2r, поскольку расстояние между центрами двух соприкасающихся сфер равно 2r. Для этих шаров координаты y и z будут одинаковыми. Для простоты положим, что координаты y и z шаров первого ряда равны r, что соответствует расположению поверхностей шаров на плоскостях с нулевыми координатами y и z. Таким образом, координаты шаров первого ряда будут выглядеть как (r, r, r), (3r, r, r), (5r ,r, r), (7r ,r, r), … .

Теперь сформируем второй ряд сфер. Снова центры будут лежать на прямой, и координаты x будут отличаться на 2r, но шары будут сдвинуты по оси на величину r, так что координаты x их центров будут равны координатам точек соприкосновения шаров первого ряда. Поскольку каждая сфера из нового ряда касается двух сфер из нижнего, их центры образуют равносторонние (правильные) треугольники с центрами соседних шаров. Все длины сторон будут равны 2r, так что разница между рядами по координате y будет составлять √3r. То есть вторая строка будет иметь координаты

${\displaystyle \left(2r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(4r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(6r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\ \left(8r,r+{\sqrt {3}}r,r\right),\dots .}$

Следующая строка сфер следует этому шаблону, сдвигая ряд по оси x на величину r и по оси y на √3r. Добавляем ряды, пока не достигнем границы ящика.

В упаковке A-B-A-B-… плоскости сфер с нечётными номерами будут иметь в точности те же координаты x и y; меняются только координаты z, что верно и для чётных плоскостей. Оба вида плоскостей образуются по той же самой схеме, но положение первой сферы первой строки будет отличаться.

Используем построение, описанное выше, как слой A. Поместим сферу поверх этого слоя так, что она касается трёх сфер слоя A. Эти три сферы уже касаются друг друга, образуя равносторонний треугольник. Поскольку эти три сферы касаются добавленной сферы, четыре центра образуют правильный тетраэдр[7], все стороны которого равны 2r. Высота этого тетраэдра является разностью координат z между двумя слоями и равна ${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {6}}r}{3}}}$. Комбинация с координатами x и y даёт центры первого ряда плоскости B:

${\displaystyle \left(2r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left(4r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left(6r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left(8r,r+{\frac {{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\dots .}$

Координаты второго ряда следуют схеме, описанной выше:

${\displaystyle \left(r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left(3r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left(5r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\ \left(7r,r+{\frac {4{\sqrt {3}}r}{3}},r+{\frac {2{\sqrt {6}}r}{3}}\right),\dots .}$

Разность z-координат до следующего A-слоя снова равна ${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {6}}r}{3}}}$, а x- и y-координаты равны координатам первого A-слоя[8].

В общем случае координаты центров можно записать в виде:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+2i+((j\ +\ k){\bmod {2}})\\1+{\sqrt {3}}\left[j+{\frac {1}{3}}(k{\bmod {2}})\right]\\1+{\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}k\end{bmatrix}}r}$

где i, j и k  — индексы по координатам x, y и z (начинающиеся с нуля), а «a mod b» означает «взятия остатка» от деления ${\displaystyle a}$ на ${\displaystyle b}$.

Можно рассмотреть аналогичную задачу плотной упаковки гиперсфер (или окружностей) в евклидовом пространстве размерности, отличной от 3. В частности, двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружён шестью другими. Именно из таких слоёв построены ГЦК и ГП (ГПУ) упаковки. Плотность данной упаковки:

${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\approx 0,9069}$[1].

Оптимальная упаковка кругов на плоскости

В 1940 году было доказано, что данная упаковка является самой плотной.

В 2016 году украинский математик Марина Вязовская решила задачу об упаковке шаров в двух пространствах старших размерностей — восьмимерном[9][10][11] и, в соавторстве, в 24-мерном[12][13]. Решение Вязовской восьмимерного случая занимает всего 23 страницы и является «ошеломляюще простым»[13] по сравнению с 300-страничным текстом и использованием 50 000 строчек программного кода при изложении доказательства гипотезы Кеплера[14] для трёхмерного пространства.

Наивысшая плотность известна только для размерностей пространства 1 (укладка вплотную), 2 (треугольная решётка), 3 (ГЦК, ГП (ГПУ) и другие упаковки, построенные из слоёв треугольной решётки), 8 (решётка E8) и 24 (решётка Лича)[15].

ГЦК и ГП (ГПУ) упаковки являются наиболее плотными известными упаковками одинаковых сфер с максимальной симметрией (наименьшей единицей повторения). Более плотные упаковки шаров известны, но в них используются сферы разных диаметров. Для упаковок с плотностью 1, заполняющих пространство полностью, требуется несферические тела, такие как соты, либо бесконечное количество сфер в конечном объёме (сетка Аполлония).

Если заменить каждую точку соприкосновения двух сфер ребром, соединяющим центры соприкасающихся сфер, получим тетраэдры и октаэдры с равными длинами сторон. ГЦК укладка даёт тетраэдрально-октаэдральные соты. ГП (ГПУ) укладка даёт повёрнутые тетраэдрально-октаэдральные соты. Если, вместо этого, любая сфера расширяется точками, которые ближе к ней, чем к любой другой сфере, получаются двойственные соты — ромбододекаэдральные соты для ГЦК и трапецеромбические додекаэдральные сотыдля ГП.

Сферические пузырьки в мыльной воде по схеме ГЦК или ГП (ГПУ), когда вода между пузырьками высыхает, также принимают форму ромбододекаэдральных или трапецеромбических додекаэдральных сот. Однако такие ГЦК или ГП (ГПУ) пены с очень малым содержанием жидкости нестабильны, поскольку для них не выполняется закон Платэ. Пена Кельвина и структура Уэйра и Пелана более устойчивы, имея меньшую межграневую энергию при малом количестве жидкости[16].

Размещение плодов апельсина в ГП (ГПУ) упаковке.

Снежные шары, уложенные для игры в снежки. В передней пирамиде снежки уложены в шестиугольную плотную упаковку, в задней — в гранецентрированную кубическую.