Ячейки Бенара

Важным в задаче о конвекции в плоском слое является тот факт, что для записи её в приближении Буссинеска возможно получить точное аналитическое решение уравнений гидродинамики. Правда, простое точное решение удаётся найти лишь при абстрактной постановке с двумя свободными недеформируемыми границами слоя (как сверху, так и снизу), более реалистичные варианты таких решений не имеют (но для них хорошо работают приближённые аналитические методы, например метод Галёркина).

Приведём здесь решение задачи[3][4]. Примем, что ось z направлена вверх, перпендикулярно слою, оси x и y параллельны границе. Начало координат удобно выбрать на нижней границе слоя. Исходные уравнения конвекции:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}-\beta T{\vec {g}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0.}$

Безразмерная форма уравнений конвекции для малых возмущений равновесия, в предположении экспоненциального роста возмущений во времени (т. н. «Нормальные» возмущения) — ${\displaystyle {\vec {v}},\theta \sim e^{\lambda t}}$:

${\displaystyle {\frac {\lambda }{Pr}}{\vec {v}}=-\nabla p+\Delta {\vec {v}}+Ra\theta {\vec {e}}_{z},}$

${\displaystyle \lambda \theta =\Delta \theta +{\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{z},}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0,}$

где ${\displaystyle {\vec {e}}_{z}}$ — единичный вектор оси z, ${\displaystyle Pr,Ra}$ — соответственно число Прандтля и число Рэлея, ${\displaystyle \lambda }$ — инкремент (скорость роста) возмущений. После обезразмеривания переменная z изменяется от 0 до 1. Т. н. «Нормальные» возмущения являются частными решениями линейной системы дифференциальных уравнений, и поэтому находят широкое применение при исследовании задач в самых различных областях.

Постановка граничных условий производится в предположении, что обе границы недеформируемые, но свободные — при этом отсутствуют касательные напряжения в жидкости. Граничные условия:

${\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {e}}_{z}=0}$, — недеформируемость границ.

${\displaystyle \sigma _{xz}=\sigma _{yz}=0}$, — отсутствие касательных напряжений. Так как считаем, что работаем с жидкостью, для которой справедливо уравнение Навье — Стокса, то можем явно записать вид тензора вязких напряжений и получить граничные условия для компонент скорости.

${\displaystyle \sigma _{ij}=\eta \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$ — закон Навье,

Принимая обозначения для компонент скорости: ${\displaystyle {\vec {v}}=\left\{u,v,w\right\}}$, перепишем граничное условие для касательных напряжений в терминах скорости:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial z}}=0,}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial z}}=0}$.

Для возмущений температуры на границе принимается нулевое значение. В итоге, система граничных условий задачи такова:

${\displaystyle z=0,1:}$

${\displaystyle w=0;{\frac {\partial u}{\partial z}}={\frac {\partial v}{\partial z}}=0;\theta =0}$

Теперь, предполагая возмущения нормальными по пространству — ${\displaystyle {\vec {v}},p,\theta \sim e^{\lambda t}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}}$ (здесь ${\displaystyle {\vec {k}}}$ — волновой вектор возмущения, параллельный плоскости ${\displaystyle xy}$) и заменяя операторы дифференцирования — ${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-k^{2},\nabla =\left\{i{\vec {k}};{\frac {\partial }{\partial z}}\right\}}$, можем переписать систему уравнений конвекции в виде системы ОДУ:

${\displaystyle {\frac {\lambda }{Pr}}{\vec {v}}=-\nabla p+\Delta {\vec {v}}+Ra\theta {\vec {e}}_{z},}$

${\displaystyle \lambda \theta =\Delta \theta +w,}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0.}$

Взяв двойной ротор от первого уравнения и спроектировав его на ось z, получим окончательную систему уравнений для возмущений:

${\displaystyle {\frac {\lambda }{Pr}}\Delta w=\Delta ^{2}w+k^{2}Ra\theta ,}$

${\displaystyle \lambda \theta =\Delta \theta +w.}$

Исходя из граничных условий, а также из того, что все производные в системе чётного порядка, удобно представить решение в виде тригонометрических функций:

${\displaystyle w=a\sin n\pi z,}$

${\displaystyle \theta =b\sin n\pi z,}$

где n — целое число. Решение в виде синусов удовлетворяет сразу всем граничным условиям.

Типичная нейтральная кривая для задачи конвекции в плоском слое

Далее, обозначая ${\displaystyle D=n^{2}\pi ^{2}+k^{2}}$, и подставляя предполагаемый вид решения в уравнения, получим линейную однородную алгебраическую систему для a, b. Из её определителя можно выразить зависимость ${\displaystyle Ra(\lambda )}$:

${\displaystyle Ra(\lambda )={\frac {1}{Prk^{2}}}\left(D\lambda ^{2}+D^{2}(1+Pr)\lambda +PrD^{3}\right)}$

Полагая здесь ${\displaystyle \lambda =0}$ — граница монотонной устойчивости, невозрастание нормальных возмущений — получим формулу для определения критического числа Рэлея n-ой моды возмущений:

${\displaystyle Ra^{*}={\frac {(k^{2}+n^{2}\pi ^{2})^{3}}{k^{2}}}.}$

Наименьшее число Рэлея получится при ${\displaystyle n=1}$. Минимум зависимости, как несложно убедиться, приходится на ${\displaystyle k={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}$, а само минимальное число Рэлея равно ${\displaystyle Ra^{*}={\frac {27}{4}}\pi ^{4}\approx 657}$. В соответствии с критическим волновым числом в слое возникают структуры в виде валов ширины ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (в безразмерных единицах).

Для задач с другими вариантами границ критическое число Рэлея оказывается выше. К примеру, для слоя с двумя твёрдыми границами оно равно 1708[5], для слоя с твёрдой верхней и свободной нижней границами — 1156, меняются и критические волновые числа. Однако качественно картина конвективных валов не изменяется.

• Самоорганизация
• Конвекция
• Приближение Буссинеска
• Условие возникновения конвекции

• L.E.Scriven & C.V.Sternling «Эффекты Марангони»