Приближение Буссинеска

Уравнения тепловой конвекции (уравнения Буссине́ска, приближение Буссине́ска) в приближении Буссинеска — Обербека — наиболее популярная модель для описания конвекции в жидкостях и газах.

Модель включает в себя уравнение Навье — Стокса, уравнение теплопроводности и уравнение несжимаемости. Основная идея приближения состоит в особенности учёта зависимости плотности от температуры. Именно, в системе уравнений конвекции данная зависимость учитывается только при массовых силах:

${\displaystyle \rho _{0}\left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\right)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v}}+\rho (T){\vec {g}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0,}$

где ${\displaystyle {\vec {v}}}$ — скорость течения, ${\displaystyle T}$ — абсолютная температура, ${\displaystyle p}$ — давление, ${\displaystyle \eta }$ — динамическая вязкость, ${\displaystyle \chi }$ — коэффициент температуропроводности, ${\displaystyle {\vec {g}}}$ — ускорение свободного падения.

Часто для зависимости плотности от температуры применяется линейная аппроксимация:

${\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}(1-\beta \theta )}$,

где ${\displaystyle \beta }$ — коэффициент объёмного расширения, ${\displaystyle \theta =T-T_{0}}$ — отклонение температуры от равновесного состояния, ${\displaystyle \rho _{0}}$ — плотность жидкости при некоторой равновесной температуре ${\displaystyle T_{0}}$. Поскольку ${\displaystyle \beta }$ и отклонение температуры обычно относительно невелико, то линейное приближение обладает приемлемой точностью в большинстве исследуемых задач.

Подстановка линейной зависимости плотности и перенормировка давления позволяют исключить слагаемое ${\displaystyle \rho _{0}{\vec {g}}}$. Окончательно задача конвекции несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска принимает следующий вид:

${\displaystyle {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}-\beta \theta {\vec {g}},}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla \theta =\chi \Delta \theta ,}$

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=0,}$

здесь ${\displaystyle \nu }$ — кинематическая вязкость.

Приведённая задача конвекции в различных постановках неоднократно исследовалась. Наиболее широко известна задача Рэлея — Бенара о конвекции в плоском слое жидкости. При определённых условиях возможно точное решение задачи, например, для ламинарной конвекции в вертикальном слое при подогреве сбоку (иногда встречается под названием «задача Гершуни»).