Упаковка тетраэдров

Упаковка тетраэдров — это задача расположения одинаковых правильных тетраэдров в трёхмерном пространстве так, чтобы заполнить как можно большую долю пространства.

Известная на настоящее время самая плотная упаковка правильными тетраэдрами — это двойная решётка треугольных бипирамид, заполняющая 85,63 % пространства

На настоящее время лучшей границей плотности упаковки, полученной для оптимальной упаковки правильных тетраэдров, является число 85,63 %[1]. Тетраэдры не замощают пространство[2] и, как известно, верхняя граница заполнения находится ниже 100 % (а именно, 1 − (2,6…)·10−25) [3].

Исторические результаты
Тетраэдральная упаковка продуктов

Аристотель утверждал, что тетраэдры должны заполнять пространство полностью[4].

В 2006 году Конвей и Торквато показали, что плотность упаковки около 72 % может быть получена построением решётки тетраэдров, не являющейся решёткой Браве (с несколькими частями, имеющими различную ориентацию), и показали, что лучшая упаковка тетраэдров не может быть решёточной упаковкой (с одним элементом на повторяющийся блок и когда каждый элемент имеет одну и ту же ориентацию)[5]. Эти построения почти удваивают оптимальную плотность упаковки на основе решётки Браве, которую получил Хойлман и плотность которой равна 36,73 %[6]. В 2007 и 2010 годах Чайкин с коллегами показали, что похожие на тетраэдр тела могут быть случайным образом упакованы в конечный контейнер с плотностью упаковки между 75 % и 76 %[7]. В 2008 году Чен первой предложила упаковку правильных тетраэдров, которая плотнее упаковки сфер, а именно, 77,86 %[8][9]. Улучшения сделали Торквато и Цзяо в 2009 году, сжав конструкцию Чен с помощью компьютерного алгоритма и получив долю упаковки 78,2021 %[10].

В середине 2009 года Хаджи-Акбари с соавторами показали, используя метод Монте-Карло для первоначально случайной системы с плотностью упаковки >50 %, что равновесный поток твёрдых тетраэдров спонтанно преобразуется в двенадцатиугольный квазикристалл, который может быть сжат до 83,24 %. Они также описали хаотическую упаковку с плотностью, превосходящей 78 %. Для периодической аппроксимации квазикристаллами с ячейкой из 82 тетраэдров они получили плотность упаковки 85,03 %[11].

В конце 2009 года новое, более простое семейство упаковок с плотностью 85,47 % открыли Каллус, Элзер и Гравел[12]. На основе этих упаковок, слегка их улучшив, Торквато и Цзяо в конце 2009 года получили и плотность 85,55 %[13]. В начале 2010 года Чен, Энгел и Глотцер получили плотность 85,63 %[1], и сейчас этот результат является самой плотной упаковкой правильных тетраэдров.

Связь с другими задачами упаковки

Поскольку ранние известные границы плотности упаковки тетраэдров были меньше упаковки шаров, было высказано предположение, что правильный тетраэдр может быть контрпримером гипотезе Улама, что оптимальная плотность упаковки одинаковых шаров меньше плотности упаковки любого другого тела. Более поздние исследования показали, что это не так.

См. также
  • Задачи упаковки
  • Тетрагональные дисфеноидные соты — изоэдральная упаковка неправильных тетраэдров в 3-мерном пространстве.
  • Трижды усечённые триакистетраэдральные соты — транзитивная по ячейкам упаковка, основывающаяся на правильных тетраэдрах.

Примечания
  1. Chen, Engel, Glotzer, 2010, с. 253–280.
  2. Struik, 1925, с. 121–134.
  3. Gravel, Elser, Kallus, 2010, с. 799–818.
  4. Polster, Ross, 2011.
  5. Conway, 2006, с. 10612–10617.
  6. Hoylman, 1970, с. 135–138.
  7. Jaoshvili, Esakia, Porrati, Chaikin, 2010, с. 185501.
  8. Chen, 2008, с. 214–240.
  9. Cohn, 2009, с. 801–802.
  10. Torquato, Jiao, 2009, с. 876–879.
  11. Haji-Akbari, Engel, Keys, Zheng и др., 2009, с. 773–777.
  12. Kallus, Elser, Gravel, 2010, с. 245–252.
  13. Torquato, Jiao, 2009.

Литература
  • Elizabeth R. Chen, Michael Engel, Sharon C. Glotzer. Dense crystalline dimer packings of regular tetrahedra // Discrete & Computational Geometry. — 2010. — Т. 44, вып. 2. — С. 253–280. — doi:10.1007/s00454-010-9273-0.
  • D. J. Struik. De impletione loci // Nieuw Arch. Wiskd.. — 1925. — Т. 15. — С. 121–134.
  • Simon Gravel, Veit Elser, Yoav Kallus. Upper bound on the packing density of regular tetrahedra and octahedral // Discrete & Computational Geometry. — 2010. — Т. 46. — С. 799–818. — doi:10.1007/s00454-010-9304-x. — arXiv:1008.2830.
  • J. H. Conway. Packing, tiling, and covering with tetrahedral // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2006. — Т. 103, вып. 28. — С. 10612–10617. — doi:10.1073/pnas.0601389103. — . — PMID 16818891.
  • Douglas J. Hoylman. The densest lattice packing of tetrahedral // Bulletin of the American Mathematical Society. — 1970. — Т. 76. — С. 135–138. — doi:10.1090/S0002-9904-1970-12400-4.
  • Alexander Jaoshvili, Andria Esakia, Massimo Porrati, Paul M. Chaikin. Experiments on the Random Packing of Tetrahedral Dice // Physical Review Letters. — 2010. — Т. 104, вып. 18. — С. 185501. — doi:10.1103/PhysRevLett.104.185501. — . — PMID 20482187.
  • Elizabeth R. Chen. A Dense Packing of Regular Tetrahedra // Discrete & Computational Geometry. — 2008. — Т. 40, вып. 2. — С. 214–240. — doi:10.1007/s00454-008-9101-y.
  • Henry Cohn. Mathematical physics: A tight squeeze // Nature. — 2009. — Т. 460, вып. 7257. — С. 801–802. — doi:10.1038/460801a. — . — PMID 19675632.
  • S. Torquato, Y. Jiao. Dense packings of the Platonic and Archimedean solids // Nature. — 2009. — Т. 460, вып. 7257. — С. 876–879. — doi:10.1038/nature08239. — . — arXiv:0908.4107. — PMID 19675649.
  • Amir Haji-Akbari, Michael Engel, Aaron S. Keys, Xiaoyu Zheng, Rolfe G. Petschek, Peter Palffy-Muhoray, Sharon C. Glotzer. Disordered, quasicrystalline and crystalline phases of densely packed tetrahedral // Nature. — 2009. — Т. 462, вып. 7274. — С. 773–777. — doi:10.1038/nature08641. — . — arXiv:1012.5138. — PMID 20010683.
  • Yoav Kallus, Veit Elser, Simon Gravel. Dense Periodic Packings of Tetrahedra with Small Repeating Units // Discrete & Computational Geometry. — 2010. — Т. 44. — P. 245–252. — doi:10.1007/s00454-010-9254-3.
  • Torquato, S. & Jiao, Y. (2009), Analytical Constructions of a Family of Dense Tetrahedron Packings and the Role of Symmetry, arΧiv:0912.4210 [cond-mat.stat-mech]

Ссылки
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.