Гомологическая сфера

Гомологическая сфера — n-мерное многообразие X с гомологиями как у n-мерной сферы. То есть

H₀(X,Z) = Z = H_n(X,Z),

и

H_i(X,Z) = {0} при всех остальных i.

Примеры

Сфера Пуанкаре
Сферы Брискорна Σ(p, q, r), то есть пересечание малой 5-мерной сферы с решением уравнения x^p + y^q + z^r = 0 в $\mathbb {C} ^{3}$ при взаимно простых p, q и r. Они является гомологическими сферами. При этом Σ(1, 1, 1) гомеоморфно стандартной сфере, а Σ(2, 3, 5) сфере Пуанкаре. Если $1/p+1/q+1/r\leq 1$ , то универсальное накрытие Σ(p, q, r) гомеоморфно евклидовому пространству,

Гомологическая сфера связна.
Фундаментальная группа $\Gamma$ гомологической сферы совпадает со своим коммутатором.
Пусть $n\geqslant 5$ $\text{[math]}$ . Группа $\Gamma$ $\text{[math]}$ является группой какой-то n-мерной гомологической сферы тогда и только тогда, когда[1]:
1. $\Gamma$ конечно задана;
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ ;
3. $H_{2}(\Gamma )=0$ .
Группа $\Gamma$ $\text{[math]}$ является группой какой-то 4-мерной гомологической сферы, если
1. $\Gamma$ задана равным числом образующих и соотношений, и
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ .
- Неизвестно, верно ли обратное[1].
Связная сумма двух гомологических сфер — это гомологическая сфера.
Согласно обобщённой гипотезе Пуанкаре, односвязная гомологическая сфера гомеоморфна стандартной сфере.

Рационально гомологические сферы определяется аналогичным образом, но используя гомологии с рациональными коэффициентами.

Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 144 (Oct., 1969), pp. 67—72

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.