Трижды периодическая минимальная поверхность

Почти все изучавшиеся ТПМП не имели самопересечений (то есть были вложены в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) — с математической точки зрения они наиболее интересны (поскольку самопересекающихся поверхностей очевидным образом имеется в изобилии)[5].

Все связные ТПМП имеют род ${\displaystyle \geqslant 3}$[6] и в любой решётке существуют ориентированные вложенные ТПМП любого рода ${\displaystyle \geqslant 3}$[7].

Вложенные ТПМП ориентируемы и делят пространство на два непересекающихся подобъёма (лабиринта). Если эти два лабиринта конгруэнтны, говорят, что поверхность является сбалансированной поверхностью[8].

Поверхность Шварца P

Первыми примерами ТПМП были описанные Шварцем поверхности в 1865, за которыми последовала поверхность, описанная его студентом Э. Р. Неовиусом в 1883[9][10].

В 1970 году Алан Шён выступил с 12 новыми ТПМП, основанными на скелетных схемах кристаллографических решёток[11][12][13]. Хотя поверхности Шёна завоевали популярность в естественных науках, построения не получили математического доказательства существования и оставались большей частью неизвестными для математиков, пока в 1989 году Г. Керхер не доказал их существование[14].

С помощью сопряжённых поверхностей было найдено много других поверхностей. Хотя представления Вейерштрасса известны для простых примеров, для большинства поверхностей они не известны. Вместо этого зачастую используются методы дискретной дифференциальной геометрии[5].

Классификация ТПМП является открытой проблемой.

ТПМП часто образуют семейства, и их можно непрерывно деформировать из одной в другую. Миикс нашёл семейство с 5 параметрами для ТПМП рода 3, которое содержит все известные примеры поверхностей рода 3, за исключением гироида[6]. Члены этого семейства можно непрерывно деформировать одно в другое, при этом поверхность остаётся вложенной во время процесса деформации (хотя решётка может меняться). Гироид и лидиноид находятся в отдельном 1-параметрическом семействе[15].

Другой подход классификации ТПМП заключается в рассмотрении их пространственных групп. Для поверхностей, содержащих прямые, можно перенумеровать возможные граничные многоугольники, обеспечивая тем самым классификацию[8][16].

Периодические минимальные поверхности можно построить в S³[17] и H³[18].

Можно обобщить разбиение пространства на лабиринты, чтобы найти трижды периодические (возможно, ветвящиеся) минимальные поверхности, которые разбивают пространство более чем на две части[19].

Квазипериодические минимальные поверхности были построены в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbf {S} ^{1}}$[20]. Было высказано предположение, так и не доказанное, что минимальные поверхности с квазикристаллическим порядком существуют в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$[21].

• ТПМП галерея Кена Бракке
• ТПМП из Архива Мнимальных Поверхностей
• Трижды периодические сбалансированные минимальные поверхности с кубической симметрией
• Галерея минимальных периодических поверхностей
• 3-периодические минимальные поверхности без самопересечений