Трижды периодическая минимальная поверхность

Трижды периодическая минимальная поверхность (ТПМП, англ. triply periodic minimal surface, TPMS) — это минимальная поверхность в , являющаяся инвариантом по переносам в решётке ранга 3.

Поверхность Шварца H

Эти поверхности имеют симметрии кристаллографической группы. Известны многочисленные примеры с кубическими, тетрагональными, гексагональными и ромбическими симметриями. Моноклинные и триклинные примеры определённо существуют, но было доказано, что их сложно параметризовать[1].

ТПМП востребованы в естественных науках. ТПМП были обнаружены как биологические мембраны[2], как блок-сополимеры[3], эквипотенциальные поверхности в кристаллах [4] и др. Они также вызывают интерес в архитектуре, художественном оформлении и искусстве.

Свойства

Почти все изучавшиеся ТПМП не имели самопересечений (то есть были вложены в ) — с математической точки зрения они наиболее интересны (поскольку самопересекающихся поверхностей очевидным образом имеется в изобилии)[5].

Все связные ТПМП имеют род [6] и в любой решётке существуют ориентированные вложенные ТПМП любого рода [7].

Вложенные ТПМП ориентируемы и делят пространство на два непересекающихся подобъёма (лабиринта). Если эти два лабиринта конгруэнтны, говорят, что поверхность является сбалансированной поверхностью[8].

История

Поверхность Шварца P

Первыми примерами ТПМП были описанные Шварцем поверхности в 1865, за которыми последовала поверхность, описанная его студентом Э. Р. Неовиусом в 1883[9][10].

В 1970 году Алан Шён выступил с 12 новыми ТПМП, основанными на скелетных схемах кристаллографических решёток[11][12][13]. Хотя поверхности Шёна завоевали популярность в естественных науках, построения не получили математического доказательства существования и оставались большей частью неизвестными для математиков, пока в 1989 году Г. Керхер не доказал их существование[14].

С помощью сопряжённых поверхностей было найдено много других поверхностей. Хотя представления Вейерштрасса известны для простых примеров, для большинства поверхностей они не известны. Вместо этого зачастую используются методы дискретной дифференциальной геометрии[5].

Семейства

Классификация ТПМП является открытой проблемой.

ТПМП часто образуют семейства, и их можно непрерывно деформировать из одной в другую. Миикс нашёл семейство с 5 параметрами для ТПМП рода 3, которое содержит все известные примеры поверхностей рода 3, за исключением гироида[6]. Члены этого семейства можно непрерывно деформировать одно в другое, при этом поверхность остаётся вложенной во время процесса деформации (хотя решётка может меняться). Гироид и лидиноид находятся в отдельном 1-параметрическом семействе[15].

Другой подход классификации ТПМП заключается в рассмотрении их пространственных групп. Для поверхностей, содержащих прямые, можно перенумеровать возможные граничные многоугольники, обеспечивая тем самым классификацию[8][16].

Обобщения

Периодические минимальные поверхности можно построить в S3[17] и H3[18].

Можно обобщить разбиение пространства на лабиринты, чтобы найти трижды периодические (возможно, ветвящиеся) минимальные поверхности, которые разбивают пространство более чем на две части[19].

Квазипериодические минимальные поверхности были построены в [20]. Было высказано предположение, так и не доказанное, что минимальные поверхности с квазикристаллическим порядком существуют в [21].

Галерея внешних изображений

  • ТПМП галерея Кена Бракке
  • ТПМП из Архива Мнимальных Поверхностей
  • Трижды периодические сбалансированные минимальные поверхности с кубической симметрией
  • Галерея минимальных периодических поверхностей
  • 3-периодические минимальные поверхности без самопересечений

Примечания

  1. Mathematics of The EPINET Project
  2. Deng, Mieczkowski, 1998, с. 16–25.
  3. Jiang, Göpfert, Abetz, 2003, с. 6171–6177.
  4. Mackay, 1985, с. 300–305.
  5. Karcher, Polthier, 1996, с. 2077–2104.
  6. Meeks, 1975.
  7. Traizet, 2008, с. 243–275.
  8. without self-intersections
  9. Schwarz, 1933.
  10. Neovius, 1883.
  11. Alan H. Schoen, Infinite periodic minimal surfaces without self-intersections, NASA Technical Note TN D-5541 (1970)
  12. [1.pdf Infinite periodic minimal surfaces without self-intersections by Alan H. Schoen]. Дата обращения: 12 апреля 2019. [1.pdf Архивировано] 13 апреля 2018 года.
  13. Triply-periodic minimal surfaces by Alan H. Schoen. Дата обращения: 12 апреля 2019. Архивировано 22 октября 2018 года.
  14. Karcher, 1989, с. 291–357.
  15. Weyhaupt, 2006.
  16. Fischer, Koch, 1996, с. 2105–2142.
  17. Karcher, Pinkall, Sterling, 1988, с. 169–185.
  18. Polthier, 1991, с. 201–210.
  19. Góźdź, Hołyst, 1996, с. 5012–5027.
  20. Mazet, Traizet, 2006, с. 573–601.
  21. Sheng, Elser, 1994, с. 9977–9980.

Литература

  • Yuru Deng, Mark Mieczkowski. Three-dimensional periodic cubic membrane structure in the mitochondria of amoebae Chaos carolinensis // Protoplasma. — Springer Science and Business Media LLC, 1998. Т. 203, вып. 1–2. ISSN 0033-183X. doi:10.1007/bf01280583.
  • Shimei Jiang, Astrid Göpfert, Volker Abetz. Novel Morphologies of Block Copolymer Blends via Hydrogen Bonding // Macromolecules. — American Chemical Society (ACS), 2003. Т. 36, вып. 16. ISSN 0024-9297. doi:10.1021/ma0342933.
  • Alan L. Mackay. Periodic minimal surfaces // Physica B+C. — Elsevier BV, 1985. Т. 131, вып. 1–3. ISSN 0378-4363. doi:10.1016/0378-4363(85)90163-9.
  • Hermann Karcher, Konrad Polthier. Construction of triply periodic minimal surfaces // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — The Royal Society, 1996. Т. 354, вып. 1715. ISSN 1364-503X. doi:10.1098/rsta.1996.0093. arXiv:1002.4805.
  • Traizet M. On the genus of triply periodic minimal surfaces // Journal of Differential Geometry. — International Press of Boston, 2008. Т. 79, вып. 2. ISSN 0022-040X. doi:10.4310/jdg/1211512641.
  • Fischer W., Koch E. Spanning minimal surfaces // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — The Royal Society, 1996. Т. 354, вып. 1715. ISSN 1364-503X. doi:10.1098/rsta.1996.0094.
  • Schwarz H. A. Gesammelte Mathematische Abhandlungen. — Berlin: Springer, 1933.
  • Neovius E. R. Bestimmung zweier spezieller periodischer Minimal Flachen. — Helsingfors: Akad. Abhandlungen, 1883.
  • Hermann Karcher. The triply periodic minimal surfaces of Alan Schoen and their constant mean curvature companions // Manuscripta Mathematica. — 1989. Т. 64, вып. 3. doi:10.1007/BF01165824.
  • William H. Meeks. III. The Geometry and the Conformal Structure of Triply Periodic Minimal Surfaces in R3.. — Berkeley: University of California, 1975.
  • Adam G. Weyhaupt. New families of embedded triply periodic minimal surfaces of genus three in euclidean space. — Indiana University, 2006. — (PhD thesis).
  • Karcher H., Pinkall U., Sterling I. New minimal surfaces in S3 // Journal of Differential Geometry. — International Press of Boston, 1988. Т. 28, вып. 2. ISSN 0022-040X. doi:10.4310/jdg/1214442276.
  • K. Polthier. New periodic minimal surfaces in h3. // Theoretical and Numerical Aspects of Geometric Variational Problems / G. Dziuk, G. Huisken, J. Hutchinson. — CMA Canberra, 1991. — Т. 26.
  • Wojciech T. Góźdź, Robert Hołyst. Triply periodic surfaces and multiply continuous structures from the Landau model of microemulsions // Physical Review E. — American Physical Society (APS), 1996. Т. 54, вып. 5. ISSN 1063-651X. doi:10.1103/physreve.54.5012. PMID 9965680.
  • Laurent Mazet, Martin Traizet. A quasi-periodic minimal surface // Commentarii Mathematici Helvetici. — 2006.
  • Qing Sheng, Veit Elser. Quasicrystalline minimal surfaces // Physical Review B. — American Physical Society (APS), 1994. Т. 49, вып. 14. ISSN 0163-1829. doi:10.1103/physrevb.49.9977. PMID 10009804.
  • Э. Э. Лорд, А. Л. Маккей, С. Ранганатан. Глава 9. Трижды периодические поверхности // Новая геометрия для новых материалов = New geometries for new materials / Пер. с англ. к. х. н. Л. П. Мезенцевой под ред. В. Я. Шевченко, В. Е. Дмитриенко. М.: Физматлит, 2010. — ISBN 978-5-9221-1243-7.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.