Поверхность Ричмонда

Поверхность Ричмонда — минимальная поверхность, впервые описанная by английским математиком Гербертом Уильямом Ричмондом в 1904 году[1]. Это семейство поверхностей с одним планарным концом и одним самопересекающимся концом как у поверхности Эннепера.

Поверхность Ричмонда для m=2.

Поверхность имеет параметризацию Вейерштрасса — Эннепера ${\displaystyle f(z)=1/z^{2},g(z)=z^{m}}$. Это позволяет параметризацию на основе комплексных параметров

${\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\Re [(-1/2z)-z^{2m+1}/(4m+2)]\\Y(z)&=\Re [(-i/2z)+iz^{2m+1}/(4m+2)]\\Z(z)&=\Re [z^{m}/m]\end{aligned}}}$

Ассоциированным семейством поверхности является просто вращение поверхности вокруг оси z.

Принимая m = 2, получаем вещественное параметрическое выражение[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}X(u,v)&=(1/3)u^{3}-uv^{2}+{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}\\Y(u,v)&=-u^{2}v+(1/3)v^{3}-{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}\\Z(u,v)&=2u\end{aligned}}}$