Конец топологического пространства

Пусть X — топологическое пространство, и пусть

${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset \dots }$

есть возрастающая последовательность компактных подмножеств в X, чьи внутренности покрывают X. Тогда X имеет один конец для каждой последовательности

${\displaystyle U_{1}\supset U_{2}\supset \dots }$,

где каждое U_n — это компонента связности дополнения X\K_n.

Несложно доказать, что число концов не зависит от конкретной последовательности {K_n} компактных множеств.

• Компактное пространство не имеет концов.
• Вещественная прямая ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ имеет два конца, ∞ и −∞.
• Евклидово пространство ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ при n > 1 имеет только один конец. Это происходит потому, что у ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}\setminus K}$ есть только одна неограниченная компонента для любого компакта K.
  • Более того, если М — компактное многообразие с краем, то число концов его внутренности равно числу компонент связности границы М.
• Объединение n лучей, исходящих из начала координат в ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{2}}$, имеет n концов.
• Бесконечное полное бинарное дерево имеет несчётное число концов. Эти концы можно рассматривать в качестве «кроны» бесконечного дерева. В конечной компактификации множество концов гомеоморфно Канторову множеству.

Понятие конца топологического пространства было введено Гансом Фройденталем в 1931 году.

Определение конца данное выше относится только к пространствам X, которые допускают исчерпывание компактами. Однако оно может быть обобщено следующим образом: пусть X — любое топологическое пространство, рассмотрим прямую систему {K} компактных подмножеств в X с отображениями включения. Рассмотрим соответствующую обратную систему связных компонент дополнений {π₀(X\K)}. Тогда множество концов в Х определяется как обратный предел этой обратной системы.

• Diestel, Reinhard & Kühn, Daniela (2003), Graph-theoretical versus topological ends of graphs, Journal of Combinatorial Theory, Series B Т. 87 (1): 197–206, DOI 10.1016/S0095-8956(02)00034-5.
• Freudenthal, Hans (1931), Über die Enden topologischer Räume und Gruppen, Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg) . — Т. 33: 692–713, ISSN 0025-5874, DOI 10.1007/BF01174375
• Ross Geoghegan, Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
• Peter Scott, Terry Wall, Topological methods in group theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137—203.