Индуктивный предел

Индуктивный предел (или прямой предел, копредел) — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.

Эта конструкция позволяет построить новый объект по последовательности (индексированной направленным множеством) однотипных объектов и набору отображений , . Для индуктивного предела обычно используется обозначение

.

Мы дадим определение для алгебраических структур, а затем — для объектов произвольной категории.

Определение

Алгебраические объекты

В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и т. д.

Пусть  — направленное множество с отношением предпорядка и пусть каждому элементу сопоставлен алгебраический объект , а каждой паре , , в которой , сопоставлен гомоморфизм , причём  — тождественные отображения для любого и для любых из . Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.

Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы  — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей по отношению эквивалентности:

Здесь и эквивалентны, если существует такое , что . Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть .

Из этого определения легко получить канонические морфизмы , отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.

Определение для произвольной категории

В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы  — это объект категории, такой что выполняются следующие условия:

  1. существует такое семейство отображений , что для любых ;
  2. для любого семейства отображений , в произвольное множества , для которого выполнены равенства для любых , существует единственное отображение , что , для всех .

Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.

Примеры

  • На произвольном семействе подмножеств данного множества можно задать структуру предпорядка по включению. Если этот предпорядок действительно является направленным, то прямой предел семейства — это обычное объединение множеств.
  • Пусть p — простое число. Рассмотрим направленную систему из групп Z/pnZ и гомоморфизмов Z/pnZZ/pn+1Z, индуцированных умножением на p. Прямой предел этой системы содержит все корни из единицы, порядок которых — некоторая степень p. Их группа по умножению называется группой Прюфера Z(p).
  • Пусть F — пучок на топологическом пространстве X со значениями в C. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленную систему по включению (UV если U содержит V). Функтор пучка сопоставляет ей направленную систему (F(U), rU,V), где r — отображения ограничения. Прямой предел этой системы называется слоем F над x и обозначается Fx.
  • Прямые пределы в категории топологических пространств получаются присвоением финальной топологии соответствующему множеству-носителю.

Литература

  • С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC 40551484
  • Bourbaki, Nicolas (1989), General topology: Chapters 1-4, Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC 40551485
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.