Параметризация Вейерштрасса — Эннепера

Параметризация Вейерштрасса — Эннепера минимальных поверхностей — классический раздел дифференциальной геометрии.

Альфред Эннепер и Карл Вейерштрасс изучали минимальные поверхности ещё в 1863 году.

Параметризация Вейерштрасса позволяет построение периодических минимальных поверхностей

Параметризация

Пусть и будут функциями на полной комплексной плоскости или на единичном диске, где является мероморфной, а является аналитической, такие что где имеет полюс порядка , имеет нуль порядка (или, эквивалентно, такие что произведение является голоморфной), и пусть будут константами. Тогда поверхность с координатами является минимальной, где определяется как вещественная часть комплексного интеграла:

Обратное также верно — любая непланарная минимальная поверхность, определённая над связной областью может быть параметризована таким образом[1].

Например, поверхность Эннепера имеет параметризацию .

Параметрическая поверхность комплексных переменных

Модель Вейерштрасса — Эннепера определяет минимальную поверхность () на комплексной плоскости (). Пусть (комплексная плоскость как пространство ), матрица Якоби поверхности может быть записана как столбец с комплексными элементами:

Здесь и являются голоморфными функциями от .

Якобиан представляет два ортогональных касательных к поверхности вектора[2]:

Нормаль к поверхности задаётся выражением

Якобиан приводит к ряду важных свойств: , , , . Доказательство можно найти в статье Шарма: Представление Вейерштрасса всегда даёт минимальную поверхность[3]. Производные могут быть использованы для построения матрицы первой квадратичной формы :

и матрицы второй квадратичной формы

Наконец, точка на комплексной плоскости отображается в точку на минимальной поверхности в

где для всех минимальных поверхностей, за исключением минимальной поверхности Коста, где .

Вложенные минимальные поверхности и примеры

Классические примеры вложенных минимальных поверхностей в с конечной топологией включают плоскость, катеноид, геликоид и минимальную поверхность Коста. Поверхность Коста вовлекает эллиптическую функцию Вейерштрасса [4]:

где является константой[5].

Геликатеноид

Выбрав функции и , получим семейство минимальных поверхностей.

Выберем параметры поверхности :

В экстремальных точках поверхность является катеноидом или геликоидом . В остальном представляет угол совмещения. Результирующая поверхность, при выборе области определения во избежание самопересечений, представляет собой цепочку, вращающуюся вокруг оси по спирали.

Цепочка, стягивающая периодические точки спирали и поворачиваемая вдоль спирали для образования минимальной поверхности.
Фундаментальная область (C) и 3D поверхности. Непрерывные поверхности состоят из копий основного фрагмента (R3)

Линии кривизны

Можно переписать каждый элемент второй фундаментальной матрицы в виде функций от и , например

А следовательно, вторая фундаментальная форма может быть упрощена

Линии кривизны образуют четырёхугольные области

Одним из собственных векторов матрицы является

и он представляет главное направление в комплексной области[6]. Поэтому двумя главными направлениями в пространстве оказываются

См. также

Примечания

Литература

  • Dierkes U., Hildebrandt S., Küster A., Wohlrab O. Minimal surfaces. — Springer, 1992. — Т. I. — ISBN 3-540-53169-6.
  • Andersson S., Hyde S. T., Larsson K., Lidin S. Minimal Surfaces and Structures: From Inorganic and Metal Crystals to Cell Membranes and Biopolymers // Chem. Rev.. — 1988. Т. 88, вып. 1. doi:10.1021/cr00083a011.
  • Sharma R. The Weierstrass Representation always gives a minimal surface. — 2012.
  • Lawden D. F. Elliptic Functions and Applications. — Berlin: Springer, 2011. — Т. 80. — (Applied Mathematical Sciences). — ISBN 978-1-4419-3090-3.
  • Abbena E., Salamon S., Gray A. Minimal Surfaces via Complex Variables // Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. — Boca Raton: CRC Press, 2006. — ISBN 1-58488-448-7.
  • Hua H., Jia T. Wire cut of double-sided minimal surfaces // The Visual Computer. — 2018. Т. 34, вып. 6–8. doi:10.1007/s00371-018-1548-0.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.