Вторая квадратичная форма

Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Вторая квадратичная форма часто обозначается $\mathrm {I\!I}$ , а её компоненты традиционно обозначаются $L$ , $M$ и $N$ .

Знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн, средней и гауссовой кривизн поверхности.

Определение

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ поверхность задана уравнением $r=r(u,v),$ где $u$ и $v$ ― внутренние координаты на поверхности; $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ ― дифференциал радиус-вектора $r$ вдоль выбранного направления смещения из точки $M$ в бесконечно близкую точку $M'$ ; $n$ — нормальный вектор к поверхности в точке $M$ . Тогда вторая квадратичная форма имеет вид

\mathrm {I\!I} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},

где коэффициенты определяются формулами:

L=\langle r_{uu},n\rangle =-\langle r_{u},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uu},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

M=\langle r_{uv},n\rangle =-\langle r_{u},n_{v}\rangle =-\langle r_{v},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

N=\langle r_{vv},n\rangle =-\langle r_{v},n_{v}\rangle ={\frac {(r_{vv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

где $(\cdot ,\cdot ,\cdot )$ обозначает смешанное произведение векторов и $E=|r_{u}|^{2},$ $F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,$ $G=|r_{v}|^{2}$ ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

Связанные определения

Оператор формы или оператор Вайнгартена линейный оператор $S$ на касательной плоскости определяемый как
$S(V)=-\nabla _{V}\nu ,$

где

\nu

— поле единичных нормалей к поверхности. Оператор формы связан с второй квадратичной формой следующим соотношением:

\langle S(V),W\rangle =\mathrm {I\!I} (V,W).

Собственные значения оператора формы называются главными кривизнами поверхности в точке, а собственные направеления оператора формы называются главными направлениями поверхности в точке.
- Кривые на поверхности, идущие в главных направлениях называются линиями кривизны.

Нормальная кривизна $k_{V}$ по направлению $V$ вычисляется по формуле
${\frac {\mathrm {I} \!\mathrm {I} (V,V)}{\mathrm {I} (V,V)}}=\langle S(V),V\rangle /|V|^{2}$

где

\mathrm {I}

— первая квадратичная форма.

Направление с нулевой нормальной кривизной называется асимптотическим, а кривая на поверхности идущая в асимптотическом направлении называется асимптотической кривой.

Вычисление

График функции

В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции $z=f(x,y)$ в трёхмерном евклидовом пространстве с коэффициентами $x,y,z$ , коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:

L={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ M={\frac {f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ N={\frac {f_{yy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}.

Вариации и обобщения

Гиперповерхности

Рассмотрим гиперповерхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ . Пусть ${r}:\mathbb {R} ^{m-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ — локальная карта поверхности в точке $P$ .

Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле

q_{ij}={\biggl \langle }{n},{\frac {\partial ^{2}{r}}{\partial u^{i}\partial u^{j}}}{\biggr \rangle },\ \ \ i,j=1,\ldots ,m-1,

где $n$ обозначает единичный вектор нормали.

Большая коразмерность

Вторая фундаментальная форма определяется также и для подмногообразий произвольной коразмерности.[1]

\mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },

где $(\nabla _{v}w)^{\bot }$ обозначает проекцию ковариантной производной $\nabla _{v}w$ на нормальное пространство.

В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве.

Для подмногообразий Евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие $N$ вложено в риманово многообразие $(M,g)$ тогда тензор кривизны $R_{N}$ многообразия $N$ снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны $R_{M}$ объемлющего многообразия $M$ :

\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

См. также

Примечания

c. 128 в M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992

Литература

Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.

Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

А. В .Чернавский. Лекции по классической дифференциальной геометрии (2 курс)

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] . 128 в M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992