Уравнения Петерсона ― Кодацци

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид

${\displaystyle {\frac {\partial b_{i1}}{\partial u^{2}}}+\Gamma _{i1}^{1}b_{12}+\Gamma _{i1}^{2}b_{22}={\frac {\partial b_{i2}}{\partial u^{1}}}+\Gamma _{i2}^{1}b_{11}+\Gamma _{i2}^{2}b_{21}}$

где ${\displaystyle b_{ij}}$ ― коэффициенты второй квадратичной формы, ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ ― символы Кристоффеля.

• Теорема Бонне. Если ${\displaystyle g=g_{ij}}$ и ${\displaystyle b=b_{ij}}$, ${\displaystyle i,j\in \{1,2\}}$ две гладкие квадратичные формы в области ${\displaystyle U}$ удовлетворяющие уравнениям Петерсона ― Кодацци, тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
  • Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.

Уравнения впервые найдены Петерсоном[1] в 1853, переоткрыты Майнарди[2] и Кодацци(1867)[3].

• Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, М., 1956.
• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.