Третья квадратичная форма

Пусть ${\displaystyle S}$ обозначает оператор формы гладкой поверхности ${\displaystyle \Sigma }$. Кроме того, пусть ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ — элементы касательного пространства ${\displaystyle T_{p}}$ в точке ${\displaystyle p\in \Sigma }$. Третья фундаментальная форма определяется как следующее скалярное произведение

${\displaystyle \mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle S(u),S(v)\rangle .}$

• Третья квадратичная форма не зависит от знака нормали поверхности. (Это отличает её от второй квадратичной формы, которая меняет знак при смене знака нормали)

• Третья квадратичная форма выражается через первую и вторую квадратичную форму.

  ${\displaystyle \mathbf {I\!I\!I} -2\cdot H\cdot \mathbf {I\!I} +K\cdot \mathbf {I} =0,}$

где ${\displaystyle H}$ — средняя кривизна поверхности и ${\displaystyle K}$ — гауссова кривизна поверхности.

• Поскольку оператор формы самосопряжён, для ${\displaystyle u,v\in T_{p}(M)}$ мы имеем

  ${\displaystyle \mathbf {I\!I\!I} (u,v)=\langle Su,Sv\rangle =\langle u,S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u,v\rangle }$.

• Первая квадратичная форма
• Вторая квадратичная форма