Метрика Громова — Хаусдорфа

Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Эдвардсом в 1975 г.[1][2], а затем переоткрыта и обобщена М. Л. Громовым в 1981 г.[3]. Громов использовал эту метрику в доказательстве теоремы о группах полиномиального роста.

Определение

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств $X$ и $Y$ определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях $X\hookrightarrow Z$ и $Y\hookrightarrow Z$ в общее метрическое пространство $Z$ . При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам $Z$ .

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между $X$ и $Y$ в дизъюнктном объединении $X\sqcup Y$ , снабжённым метрикой $\rho$ такой, что сужение $\rho$ на $X$ совпадает с метрикой на $X$ и сужение $\rho$ на $Y$ совпадает с метрикой на $Y$ . При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам $\rho$ .

Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами $X$ и $Y$ » говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между $X$ и $Y$ ».
Расстояние между изометрическими классами $X$ и $Y$ обычно обозначается $d_{GH}(X,Y)$ или $|X-Y|_{GH}$ .
Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается ${\mathcal {M}}$ , ${\mathfrak {M}}$ или $GH$ .

Связанные определения

Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств $X_{n}$ сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства $X_{\infty }$ , если $d_{GH}(X_{n},X_{\infty })\to 0$ при $n\to \infty$

Свойства

Метрическое пространство $GH$ $\text{[math]}$ является линейно связным, полным, сепарабельным, и с внутренней метрикой.
- Более того, $GH$ является геодезическим[4]; то есть, любые две его точки соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между этими точками.
Пространство Громова — Хаусдорфа $GH$ глобально неоднородно; то есть, его группа изометрий тривиальна[5], однако локально имеется много нетривиальных изометрий[6].
Пространство $GH$ изометрично пространсву классов конгруентности компакнтых подмножеств пространства Урысона ${\mathcal {U}}$ с метрикой Хаусдорфа с точностью до движения ${\mathcal {U}}$ .[7]
Любое вполне равномерно ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
- Семейство $X$ метрических пространств называется вполне равномерно ограниченным, если диаметры всех пространств этого семейства ограничены одной и той же константой, и для любого $\varepsilon >0$ существует такое целое положительное число $N(\varepsilon )$ , что любое пространство из $X$ допускает $\varepsilon$ -сеть из не более чем $N(\varepsilon )$ точек.
- Из этого свойства, в частности, следует теорема Громова о компактности, аналогичная теореме выбора Бляшке для метрики Хаусдорфа.

Вариации и обобщения

В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром, снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
Если разрешить метрике принимать значение $\infty$ , то можно также отказаться от конечности диаметра.

Примечания

D. Edwards, «The Structure of Superspace», in «Studies in Topology», Academic Press, 1975
A. Tuzhilin, «Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance? (2016)», arXiv:1612.00728
M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981 Архивировано 29 ноября 2016 года.
A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015), The Gromov–Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic, arXiv:1504.03830, <http://arxiv.org/pdf/1504.03830.pdf>
A. Ivanov, A. Tuzhilin (2018), The Isometry Group of Gromov–Hausdorff Space, arXiv:1806.02100, <https://arxiv.org/pdf/1806.02100.pdf>
A. Ivanov, A. Tuzhilin (2015), Local Structure of Gromov–Hausdorff Space near Finite Metric Spaces in General Position, arXiv:1611.04484, <https://arxiv.org/pdf/1611.04484.pdf>
Anton Petrunin. Pure metric geometry: introductory lectures (англ.). — 2020. arXiv:2007.09846

Литература

M. Gromov. «Structures métriques pour les variétés riemanniennes», edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] D. Edwards, «The Structure of Superspace», in «Studies in Topology», Academic Press, 1975

[2] A. Tuzhilin, «Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance? (2016)», arXiv:1612.00728

[3] M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981 Архивировано 29 ноября 2016 года.

[4] A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015), The Gromov–Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic, arXiv:1504.03830, <http://arxiv.org/pdf/1504.03830.pdf>

[5] A. Ivanov, A. Tuzhilin (2018), The Isometry Group of Gromov–Hausdorff Space, arXiv:1806.02100, <https://arxiv.org/pdf/1806.02100.pdf>

[6] A. Ivanov, A. Tuzhilin (2015), Local Structure of Gromov–Hausdorff Space near Finite Metric Spaces in General Position, arXiv:1611.04484, <https://arxiv.org/pdf/1611.04484.pdf>

[7] Anton Petrunin. Pure metric geometry: introductory lectures (англ.). — 2020. arXiv:2007.09846