Пространство Урысона

Пространство Урысона — полное сепарабельное метрическое пространство ${\displaystyle X}$, обладающее следующими двумя свойствами:

• (Универсальность.) Любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству ${\displaystyle X}$.
• (Конечная однородность.) Для любых двух конечных изометричных его подмножеств ${\displaystyle Y_{1},Y_{2}\subset X}$ любая изометрия между ними продолжается до глобальной изометрии ${\displaystyle X}$.

• Пространство Урысона существует и единственно с точностью до изометрии.

• Пространство Урысона ${\displaystyle U}$ является компактно однородным. То есть любое изометрическое отображение компактного подмножества ${\displaystyle K\subset U}$ в ${\displaystyle U}$ можно продолжить до изометрии ${\displaystyle U}$.

• При некоторой естественной процедуре порождения случайного полного сепарабельного метрического пространства получающееся пространство почти наверное оказывается изометричным пространству Урысона. (это свойство аналогично основному свойству графу Радо — Эрдеша — Реньи)

Морис Фреше доказал, что пространсто ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ включает в себя изометрическую копию любого сепарабельного метрического пространства. Однако, в отличие от пространстве Урысона, ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ не является ни конечно-однородным ни сепарабельным. Он поставил вопрос о существовании сепарабельного пространства обладающего этим свойством. Такое пространство было построено Павлом Самуиловичем Урысоном.[1]

• А. М. Вершик, Случайное метрическое пространство есть пространство Урысона, Докл. РАН, 387:6 (2002), 733—736

• А. М. Вершик, Универсальность и случайность в геометрии и анализе, видеозапись лекции 28 сентября 2006 г. на общеинститутском семинаре «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

• С. А. Богатый, Компактная однородность универсального метрического пространства Урысона, УМН, 55:2(332) (2000), 131—132.

• А. М. Вершик, Случайные метрические пространства и универсальность, УМН, 59:2(356) (2004), 65-104.