Число Бетти

• k-е число Бетти ${\displaystyle \beta _{k}(X)=}$ rank ${\displaystyle H_{k}(X)}$,

где ${\displaystyle H_{k}(X)}$ — k-я группа гомологий пространства X, которая является абелевой, rank обозначает ранг этой группы.

Эквивалентно, можно определить его как размерность векторного пространства H_k(X; Q), поскольку группа гомологий в этом случае является векторным пространством над Q:

• ${\displaystyle \beta _{k}(X)=}$ dim H_k(X; Q)

Эквивалентность этих определений в простых случаях показывает теорема об универсальных коэффициентах.

В более общих случаях для данного поля F можно определить ${\displaystyle \beta _{k}(X,F)}$, k-е число Бетти с коэффициентами в F, как размерность векторного пространства H_k(X, F).

• Функция Пуанкаре пространства X — это производящая функция последовательности чисел Бетти пространства X:

  ${\displaystyle P_{X}(z)=\beta _{0}(X)+\beta _{1}(X)z+\beta _{2}(X)z^{2}+\cdots .}$

В топологической теории графов первое число Бетти графа G с n вершинами, m ребрами и k компонентами связности равно

${\displaystyle \beta _{1}(G)=m-n+k.\ }$

Это может быть доказано непосредственно математической индукцией по числу ребер. Новое ребро либо увеличивает количество 1-циклов либо уменьшает число компонент связности.

Первое число Бетти графа совпадает с цикломатическим числом этого графа.

• Для конечного симплициального комплекса K группы гомологий H_k(K) являются конечно-порожденными и, следовательно, имеют конечный ранг. Если k превышает максимальную размерность симплексов K, то соответствующие группы гомологий нулевые. В этом случае
  • Эйлерова характеристика K может быть выражена следующим образом

    ${\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\beta _{i}(K)}$

  • Функция Пуанкаре является многочленом.
• Согласно теореме Кюннета для любых двух пространств X и Y, верно следующее соотношение для функций Пуанкаре

${\displaystyle P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},}$

• Если X — замкнутое и ориентируемое n-мерное многообразие, то, согласно двойственности Пуанкаре, для любого k:

  ${\displaystyle \beta _{k}(X)=\beta _{n-k}(X).}$

1. Последовательность чисел Бетти для окружности ${\displaystyle S^{1}}$: 1, 1, 0, 0, 0, …;

   многочлен Пуанкаре: ${\displaystyle 1+x}$.

2. Последовательность чисел Бетти для двумерного тора ${\displaystyle T^{2}}$: 1, 2, 1, 0, 0, 0, …;

   многочлен Пуанкаре: ${\displaystyle 1+2x+x^{2}=(1+x)^{2}}$.

3. Последовательность чисел Бетти для трехмерного тора ${\displaystyle T^{3}}$: 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, … .

   многочлен Пуанкаре: ${\displaystyle 1+3x+3x^{2}+x^{3}=(1+x)^{3}}$.

4. Аналогично, для n-мерного тора, многочленом Пуанкаре является ${\displaystyle (1+x)^{n}}$, то есть числа Бетти являются биномиальными коэффициентами.
5. Бесконечномерные пространства могут иметь бесконечную последовательность ненулевых чисел Бетти. К примеру, бесконечномерное комплексное проективное пространство имеет последовательность чисел Бетти 1, 0, 1, 0, 1, … периодичную с периодом 2. В этом случае функция Пуанкаре не является многочленом, представляя собой бесконечный ряд, который является рациональной функцией:

   ${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}=1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\dotsb .}$

   • В общем случае, ряд Пуанкаре выражается рациональной функцией тогда и только тогда, когда последовательность чисел Бетти линейная рекуррентная.

• Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989