Теорема об универсальных коэффициентах

Теорема об универсальных коэффициентах в алгебраической топологии устанавливает связь между целочисленными гомологиями топологического пространства X и его гомологиями с коэффициентами в произвольной абелевой группе A. Она утверждает, что группы целочисленных гомологий $H_{i}(X,\mathbb {Z} )$ полностью определяют группы $H_{i}(X,A)$ , причём гомологии могут быть как симплициальными так и сингулярными — это общий результат гомологической алгебры о цепных комплексах свободных абелевых групп.

Утверждение теоремы

Рассмотрим тензорное произведение $H_{i}(X,\mathbb {Z} )\otimes A$ . Теорема утверждает, что существует инъективный гомоморфизм этой группы в $H_{i}(X,A)$ с коядром ${\mbox{Tor}}(H_{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)$ .

0\rightarrow H_{i}(X,\mathbb {Z} )\otimes A\rightarrow H_{i}(X,A)\rightarrow {\mbox{Tor}}(H_{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\rightarrow 0.

Более того, эта последовательность расщепляется, но расщепление не является естественным.

Существует аналогичная теорема для когомологий, вовлекающая функтор Ext, которая утверждает, что существует короткая точная последовательность

0\rightarrow {\mbox{Ext}}(H_{i-1}(X,\mathbb {Z} ),A)\rightarrow H^{i}(X,A)\rightarrow {\mbox{Hom}}(H_{i}(X,\mathbb {Z} ),A)\rightarrow 0.

Как и в случае гомологий последовательность расщепляется, хотя и не естественным образом.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.