Коядро
В теории категорий коядро — это понятие, двойственное к ядру — ядро является подобъектом прообраза, а коядро — факторобъектом области прибытия. Интуитивно, при поиске решения уравнения коядро определяет число ограничений, которым должен удовлетворять y, чтобы данное уравнение имело решение.
Определение
Пусть C — категория с нулевыми морфизмами. Тогда коядро морфизма f : X → Y — это коуравнитель его и нулевого морфизма 0 : X → Y. Более явно, выполняется следующее универсальное свойство:
Коядро f : X → Y — это морфизм q : Y → Q, такой что:
- q o f — нулевой морфизм из X в Q;
- Для любого морфизма , такого что — нулевой существует единственный морфизм , такой что следующая диаграмма коммутативна:
Как и другие универсальные конструкции, коядро существует не всегда, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.
Как и любые коуравнители, коядро — всегда эпиморфизм. Обратно, эпиморфизм называется нормальным (иногда — конормальным), если он является коядром некоторого морфизма. Категория называется конормальной, если любой эпиморфизм в ней нормален.
Специальные случаи
В абелевой категории образ и кообраз морфизма задаются как
- .
В частности, любой эпиморфизм является своим собственным коядром.
Литература
- С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
- Paolo Aluffi Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics). — 2009, ISBN 0-8218-4781-3.