Поверхность Долгачёва

Поверхности Долгачёва — это определённые односвязные эллиптические поверхности, введённые Долгачёвым[1]. Их можно использовать для получения примеров бесконечного семейства гомеоморфных односвязных компактных 4-многообразий, никакие два из которых не диффеоморфны.

Свойства

Раздутие X0 проективной плоскости в 9 точках можно реализовать как эллиптическое расслоение, в котором все слои неприводимы. Поверхность Долгачёва Xq получается путём применения логарифмических преобразований порядков 2 и q к двум гладким слоям для некоторого q ≥ 3.

Поверхности Долгачёва односвязны и билинейная форма на второй группе когомологий имеет нечётную сигнатуру (1, 9) (так что это унимодулярная решётка I1,9). Геометрический род pg поверхности равен 0, а размерность Кодаиры равна 1.

Дональдсон[2] нашёл первые примеры гомеоморфных, но не диффеоморфных 4-многообразий X0 и X3. Более общо, поверхности Xq и Xr всегда гомеоморфны, но не диффеоморфны, если толькоq не равно r.

Акбулут[3] показал, что поверхность Долгачёва X3 имеет разложение на ручки без 1- и 3-ручек.

Примечания
  1. Dolgachev, 1981.
  2. Donaldson, 1987.
  3. Akbulut, 2008.

Литература
  • Selman Akbulut. The Dolgachev surface. — 2008. — arXiv:0805.1524.
  • Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven. Compact Complex Surfaces. — Springer-Verlag, Berlin, 2004. — Т. 4. — (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge.). — ISBN 978-3-540-00832-3.
  • Dolgachev I. Algebraic surfaces with pg = g = 0 // Algebraic Surfaces, CIME 1977, Cortona, Liguori Napoli. — 1981. — С. 97—215.
  • Donaldson S. K. Irrationality and the h-cobordism conjecture // Journal of Differential Geometry. — 1987. — Т. 26, вып. 1. — С. 141–168.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.